数学节公益科普① | 硬核！古今数学家如何推算圆周率
编者按：
柯普宁说，当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。南科大首届数学文化节正在进行中，为传播数学文化，普及数学知识，展示数学之美，打造学科与公益相融合的校园公益文化，基金会联合数学系推出系列数学公益科普文章，以飨读者。
圆周率的前世今生
撰文 | 付云皓
古代数学
——圆周率的认识与估算
关于圆周率的定义有两种，一种是周长的定义，即
或者，
一种是面积的定义，即
从古希腊、古中国、古印度等古代文明留下的文献可以推断出，这些古代文明都认为两者是同样的定义，即可以认为它们都知道这样一个公式：
在古代文明中，随着对数学研究的深入，出现了要求得到圆周率的精确值或近似值的问题。如古希腊的三大几何作图问题中，圆化方问题是用尺规作图作出一个与已知圆面积相等的正方形，实际上就是求的精确值的问题。
最早研究圆化方问题的是安纳萨格拉斯（约前500-前428），公元前5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底解决了化圆为方（最初只有等腰直角三角形的图形，通过勾股定理/毕达哥拉斯定理可以推广到任意两个月牙的情况）。
化圆为方
如图，由勾股定理
故以AB为直径的半圆面积等于分别以AC、CB为直径的两个半圆的面积之和。去掉公共部分后，即得到两块绿色的月牙型图形面积之和等于三角形ABC的面积。
诡辩学派的代表人物安提丰（约公元前480-前411）首先提出了用圆内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，用正4，8，16，……边形来逼近圆，而正多边形化方是可以通过尺规作图来实现的。虽然这实际上并没有解决圆化方问题，但是他使用的这一“穷竭法”后来被阿基米德（公元前287-前212）等人发扬光大，解决了求球体体积等一系列问题。安提丰也因此成为穷竭法的始祖。
考虑一个半径为r的圆，我们需要找到一个与这个圆面积相同的矩形，即需要找到a使得
这里可以把a看成r和πr的比例中项，当然也可以直接想法求π的开平方。事实上，古希腊人早就掌握了求比例中项（或开平方）的几何做法，具体方法是考虑直角三角形即可。
如下图所示
用几何法求π的开平方值
如果AD=πr，BD=r，先作AB中点O，然后以O为圆心，OA为半径作圆，与过D且垂直于AB的直线交于点C，由射影定理即得
如果π是一个有理数，那么能够通过作图做出πr，那么得到a也是没有问题的了。即便π是无理数，假如π形如
或者
也是可以作出的。不过，1882年德国数学家林德尔曼证明了π是超越数（即不是任何整系数代数方程的根），而另一方面，前人已经证明尺规作图能得到的所有长度之间的比值都必须是代数数（即是某个整系数代数方程的根），这样就对圆化方问题给出了否定的答案。
古印度的《绳法经》中，遇到将圆转化为等面积的正方形时，使用的数据是正方形的边长为圆直径的8/9或者
即认为
或者
在中国古代，从《九章算术》开始就有了对圆周率的近似值。
術曰：半周半徑相乘得積步。
又術曰：周徑相乘，四而一。
又術曰：徑自相乘，三之，四而一。
又術曰：周自相乘，十二而一。
刘徽注《九章算术》写到“方五斜七，圆三径一”，即《九章算术》里的圆周率近似值为3。从西汉末年开始，新率陆续出现，但仍然不精确，且没有推算方法。
刘徽同样以圆内接正多边形的面积来近似圆的面积，但与安提丰的思路不同，他思考的是求出圆面积的尽量精确的值。
若半径为r的圆内接正n边形的边长是ln，那么
证明：
如下图所示
刘徽的方法
设AB是以O为圆心的圆内接正n边形的一条边，M是AB中点，延长OM交圆于C，则AC,CB都是圆内接正2n边形的一条边。因此
故
设该圆的面积为S0，内接正n边形的面积为Sn，内接正2n边形的面积为S2n。由于
且
因此只要求出圆内接正n边形的边长，就能轻松求出正2n边形的面积。
正常情况下，要估计S0，除了求内接正2n边形的面积，还要求外切正2n边形的面积，但是刘徽注意到
即
这是因为如果仅看扇形OAB的话，S2n比Sn多的是三角形ACB的面积，而S0比S2n多的是两个弓形的面积，两个弓形的面积要小于三角形ACB的面积。这样，刘徽就不需要求外切多边形的面积了。
刘徽从正6边形开始算到正192边形，得出“徽率”3.14。
后来祖冲之沿用这个算法算到24576边形（即12288边形边长），得到
（朒nv4数）3.1415926<π<3.1415927（盈数）
按现在的角度来看，圆内接正n边形的边长即为
上面的等式恰好是一个三角恒等式。
在半角公式中，余弦的半角更加简单，即
用此迭代可以得到很小的角的余弦值，例如
然后计算正弦值也可以得到同样的估计结果。
近代数学
——圆周率的逼近方式
从微积分的萌芽阶段开始，由于三角函数的运算更加灵活，数学家们得到了更多关于圆周率的逼近方式。
首先是Wallis公式。由于
故
因此
推论：
也就是说
这个结论在概率和数论中都有一些应用。
Wallis公式的坏处是收敛得太慢了，可以看到不等式的左右两边的比例是2n:（2n+1），因此即便n取n=500，误差也在千分之一左右。
由arctanx的展开可以得到如下的Leibniz级数：
这个级数也有同样的问题，收敛得太慢了。例如，写到1/1001那一项，误差仍然是千分之一。
由上可知
故可以写成级数的形式，并且收敛速度很快。因此如果能先把π写成较小的x的反正切，收敛速度就会变快很多。马青公式（Machin’s Formula）就是在此基础上得到的一个收敛速度较快的公式。
设
那么
故
容易知道4α，β+（π/4）均在（0，π）中，因此有4α=β+（π/4），故
这就是马青公式，再根据
可以得到较快收敛到圆周率的级数。
一些案例
——圆周率出现在其他领域
除了普通的级数之外，圆周率也在其它的领域里有出现，这里举两个例子。
第一个例子是自然数平方和的倒数求和。欧拉求自然数平方和的倒数时，使用的是下面的方法。
考虑
即
它的根为±π，±2π，±3π......
因此它应与另一个无限乘积
的展开应该相等。比较两边项x平方项的系数即得
故
当然，上面的证明是不严谨的，使用Fourier级数可以给出一个较为严谨的证明，这里略。
自然数平方和的倒数有如下的应用。由于整数环上有唯一分解，也就是说任何一个正整数可以以唯一的方式分解成素数的乘积（不计顺序），因此如果假设p1,p2,...,pm,...是所有的素数，那么
另一方面，由级数求和公式易知
因此
故
现在，我们选择一个非常大的正整数N，然后在1,2,...,N中随机选择两个数a,b（允许相同），那么a,b互素的概率是多少呢？
注意a,b互素当且仅当它们不同时是任何一个素数p的倍数。当N相对于pm非常大时，可以认为a,b是pm倍数的概率均为1/pm，因此a,b不同时是pm倍数的概率为
又由于N当相对于pm,p1非常大时，1,2,...,N中随机选择一个数，是否为pm的倍数与是否为p1的倍数是相互独立事件。因此，当N趋近于无穷时，a,b互素的概率是
也就是在足够大的范围内任取两个自然数，它们互素的概率趋近于6/(π^2)。
第二个例子是Buffon投针实验。考虑一组平行线，两两间距为d，如果将直径为d的圆形铁丝扔到平行线上，不论何种情况，圆都应该与这组平行线恰有2个交点。
现在我们将铁丝拉直再随机抛掷到平行线上，直观来看，铁丝的“长度”没有变化，故交点的期望数不变。但是，现在铁丝的长度是πd，含有圆周率π，就可以利用它。由于现在铁丝的长度超过d，记录交点的数目不容易。
我们可以将铁丝变短一些，假设铁丝的长度是l
且交点至多有一个，故铁丝与平行线相交的概率为2l/πd。
由此看出，如果令l=d/2，那么铁丝与平行线相交的概率恰为1/π。
当然，上述的推理也是不严谨的，我们可以用积分的方法再推理一遍。
假设铁丝与平行线的夹角为φ，那么铁丝在垂直于平行线的方向的投影长度为lsinφ。当l 由于铁丝是随机抛掷到平行线上的，故可以认为φ是均匀分布在【0，π/2】上，故铁丝与平行线相交的概率为 作者简介 付云皓，南方科技大学数学系讲师，主要研究方向为图论、教育数学。 亲爱的小伙伴 你学会了吗？
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