初一数学期末难题60道

一．选择题（共4小题）

1．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度V₁与V₂（V₁＜V₂），甲用一半的路程使用速度V₁、另一半的路程使用速度V₂；乙用一半的时间使用速度V₁、另一半的时间使用速度V₂；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为（　　）

A．图（1）B．图（1）或图（2）

C．图（3）D．图（4）

2．规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝x﹣[x]的图象为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）

A．32°B．64°C．77°D．87°

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BECD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　）

A．①②③B．②③④C．①④⑤D．①②⑤

二．填空题（共1小题）

5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD＝6，BD＝8，则线段AF的长度为　　．

三．解答题（共55小题）

6．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A′处，BC为折痕，若BE是∠A′BD的角平分线，求∠CBE的度数，并说明理由．

7．先化简后求值：[（a﹣2b）²﹣（a+3b）（a﹣2b）]÷（﹣5b），其中|a+2|+（b﹣1）²＝0．

8．求值：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2），其中a．

9．先化简后求值：[（a﹣2b）²﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷（﹣2b），其中|a+2|+（b﹣1）²＝0．

10．化简求值：已知|2x﹣2|+（3y+2）²＝0，求代数式的值．

11．先化简再求值：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x+3y）²]÷6y，其中x＝﹣1，y＝﹣3．

12．先化简，再求值：（2x﹣3y）²﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝﹣2．

13．先化简，再求代数式[（x+4y）²﹣x（x﹣4y）]÷4y的值，其中x＝5，y＝2．

14．已知a、b为实数，|a﹣2011|+b²﹣2b+1＝0，求代数式[（2a+b）²+（2a+b）（b﹣2a）﹣6ab]÷2b的值．

15．已知（x﹣y﹣6）²+|xy+8|＝0．

（1）分别求x²+y²，x+y的值；

（2）代数式（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y），先化简再求其值．

16．先化简，再求值：[（3m+n）（3m﹣n）+n（n﹣6m）]÷3m，其中m，n．

17．已知，A＝2x﹣y，B＝x+y，当x＝﹣1时，y＝﹣1时，求A²﹣2AB的值．

18．化简求值：

（1）已知：（x﹣2）²+|y+1|＝0，求：2（x²+2xy）﹣3（﹣xy+3y²）+9y²的值？

（2）若关于x的方程2x+3a的解x＝﹣3，求a的值．

19．已知|a+2|+（b+1）²＝0，求：（3a+b）（3a﹣b）﹣（2a﹣b）²﹣5a（a﹣2b）的值．

20．在数学中，为了简便，记，（x+1）+（x+2）+…+（x+n）

（1）请你用以上记法表示：1+2+3+…+2008＝　　；

（2）化简：　　；

（3）　　；

（4）　　．

21．已知，求代数式4xy﹣（x²+5xy﹣y²）+（x²+3xy）的值．

22．小刘从家里骑自行车出发，去镇上超市途中碰到妹妹甜甜走路从镇上回家，小刘在超市买完东西回家，在回去的路上又碰到了甜甜，便载甜甜一起回家，结果小刘比正常速度回家的时间晚了3分钟，二人离镇的距离S（千米）和小刘从家出发后的时间t（分钟）之间的关系如图所示，（假设二人之间交流时间忽略不计）

（1）小刘家离镇上的距离　　．

（2）小刘和甜甜第1次相遇时离镇上距离是多少？

（3）小刘从家里出发到回家所用的时间？

23．某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）在上述变化过程中，自变量是　　，因变量是　　；

（2）朱老师的速度为　　米/秒；小明的速度为　　米/秒；

（3）小明与朱老师相遇　　次，相遇时距起点的距离分别为　　米．

24．甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间关系的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？

（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；

（3）在什么时间段内，两人均行驶在途中？（不包括起点和终点）

25．某药物研究单位试制成功一种新药，经测试，如果患者按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）之间的关系如图所示，如果每毫升血液中的含药量不小于20微克，那么这种药物才能发挥作用，请根据题意回答下列问题：

（1）服药后，大约　　分钟后，药物发挥作用．

（2）服药后，大约　　小时，每毫升血液中含药量最大，最大值是　　微克；

（3）服药后，药物发挥作用的时间大约有　　小时．

26．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图．

（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？

（2）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？

（3）司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停止，请你在本图中补上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．

27．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图象所示．求从关闭进水管起需要多少分钟该容器内的水恰好放完．

28．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：

（1）根据图2补全表格：

（2）如表反映的两个变量中，自变量是　　，因变量是　　；

（3）根据图象，摩天轮的直径为　　m，它旋转一周需要的时间为　　min．

29．一水果个体户在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜在城镇出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）水果个体户自带的零钱是多少？

（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？

（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？

（4）请问这位水果个体户一共赚了多少钱？

30．小明、小亮从宝安中心图书馆出发，沿相同的线路跑向宝安体育场，小明先跑一点路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明150米时，小亮停在此地等候小明，两人相遇后，一起以小明原来的速度跑向宝安体育场，如图，反映了两人所跑路程y（米）与所用时间x（秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题：

（1）问题中的自变量是　　，因变量是　　；

（2）小明共跑了　　米，小明的速度为　　米/秒；

（3）图中a＝　　米，小亮在途中等候小明的时间是　　秒；

（4）小亮从A跑到B这段的速度为　　米/秒．

31．某农民带了若干千克土豆进城出售，为了方便，他带了一些零用钱备用，他先按市场价卖出一些后，又降价卖，卖出土豆千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示．结合图象回答下列问题：

（1）该农民自带的零钱是多少？

（2）降价前土豆的单价是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余下的土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？

32．甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：

（1）求乙的速度？

（2）甲中途停止了多长时间？

（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？

33．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图：

（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？

（2）分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况；

（3）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？

34．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一小吃店用早餐，如图是王老师从家到学校这一过程中的所有路程s（米）与时间t（分）之间的关系．

（1）他家与学校的距离为　　米，从家出发到学校，王老师共用了　　分钟；

（2）王老师从家出发　　分钟后开始用早餐，花了　　分钟；

（3）王老师用早餐前步行的速度是　　米/分，用完早餐以后的速度是　　米/分．

35．某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，甲游客以一定的速度沿路线“A→B→C→D→A”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他回到A处时，共用去4.5h，甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．根据图回答下列问题：

（1）图2中自变量是　　，因变量是　　．

（2）改游客在景点B处逗留的时间是　　小时，他从景点B到景点C时行走的平均速度是　　千米/时．

（3）该游客沿路线“A→B→C→D→A”共步行的路程是　　km．

（4）图2中点P表示　　．

36．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．

根据图象回答下列问题：

（1）甲和乙哪一个出发更早？早出发多长时间？

（2）甲和乙哪一个更早到达B城，早多长时间？

（3）乙出发大约用多长时间就追上甲？

（4）描述一下甲的运动情况．

（5）请你根据图象上的数据，分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度．

37．下面的图象反映的过程是：小明从家去超市买文具，又去书店购书，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，若小明家、超市、书店在同一条直线上．

根据图象回答下列问题：

（1）超市离小明家多远，小明走到超市用了多少时间？

（2）超市离书店多远，小明在书店购书用了多少时间？

（3）书店离小明家多远，小明从书店走回家的平均速度是每分钟多少米？

38．如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地．甲、乙两车到C地距离y₁、y₂（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示．

（1）A、B两地距离为　　千米；

（2）M点的坐标是　　；

（3）在图2中补全甲车到C地的距离y₁（千米）与行驶时间x（时）的函数图象；

（4）两车行驶多长时间时到C地的距离相等？

39．小明晚饭后外出散步，碰见同学，交谈一会，返回途中在读报栏看了一会报．下图是根据此情景画出的图象，请你回答下列问题：

（1）小明在什么地方碰见同学的，交谈了多少时间？

（2）读报栏离家多远？

（3）小明在哪一段路程中走得最快？

（4）小明出发15分钟后离家多远？

（5）小明出发多长时间离家500米？

40．2003年夏天，湖南省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，下图是某水库的蓄水量V万米³与干旱持续时间t（天）之间的关系图，请根据此图，回答下列问题：

（1）该水库原蓄水量为多少万米³？持续干旱10天后，水库蓄水量为多少万米³？

（2）若水库的蓄水量小于400万米³时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发出严重干旱警报？

（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？

41．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分别为AB、BD中点．

（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；

（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．

42．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．

（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．

（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．

43．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC+BD．

44．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．

（1）求证：FC＝AD；

（2）求AB的长．

45．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；

（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．

46．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）求得AD的取值范围是　　．

A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

47．如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB＝EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．

（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；

（2）若AB＝3，AC＝5，求AF的长．

48．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．

（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；

（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CDAB＝4．求点E到BC的距离．

49．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；

（3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．

50．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

51．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，

（1）求∠BFC的度数．

（2）求证：BC＝BE+CD．

52．已知：如图AD、A′D′分别为钝角△ABC和钝角△A′B′C′的边BC、B′C′上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′请你补充一个条件　　（只需写出一个你认为适当的条件）使得△ABC≌△A′B′C′，并加以证明．

53．探究

问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为　　．

拓展

问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．

推广

问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

54．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE＝BF，连接AE，EF和CF．

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE＝30°，求∠EFC的度数．

55．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时．

①求证：△ABD≌△ACE；

②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．

56．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．

57．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

58．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．

（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．

答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是　　、　　．

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是　　、　　．

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

59．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：CD＝2BF+DE．

60．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．

（1）求证：CD⊥AB；

（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

①求证：DE平分∠BDC；

②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；

③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．