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初中中考几何常见模型图及结论

启示号
教育
2年前
240

初中几何的学习离不开图形的绘制，作图本身就是就是一个分析思考的过程.在学习几何的过程中，还应把常见、常用到的基本图模型化，通过不断的作图练习、结论证明，才能见一想多，最终利用“顺其自然法”由条件到结论.

以下是最近整理的初中几何学习中常见到的基本图形及结论，大多数知识点也通过动态图形加以展示，强化运动规律.借此机会，感谢大家的关注与分享，如有不对地方，也请加以指正.

8字模型与飞镖模型 模型1 角的8字模型

条件： AC、BD相交于点O,连接AD、BC.

结论：∠A+∠D=∠B+∠C.

小结：(1)因为这个图形像数字8，所以我们把这个模型称之为8字模型.

(2)8字模型往往在几何综合题中推导角度时用到.

模型2 角的飞镖模型

如图所示 结论： ∠D=∠A+∠B+∠C.

小结：(1)因为这个图形像飞镖，所以我们把这个模型称之为飞镖模型.

(2)飞镖模型往往在几何综合题中推导角度时用到.

模型3 边的8字模型

条件： 如图所示，AC, BD相交于点O,连接AD、BC. 结论： AC+BD>AD+BC.

模型4 边的飞镖模型

如图所示

结论： AB+AC=BD+CD.
角平分线模型

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

条件： 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点F作PA⊥OM于点A, PB⊥ON于点B. 结论： PB=PA.

小结： 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.

模型2截取构造对称全等

条件： 如图，P是∠MON的平分线上一点，点 A 是射线OM上任意一点，在ON上截取 OB =OA，连接PB. 结论： △OPB≅△OPA.

小结： 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角，可以得到对应边、对应角相等.利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧.

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形

条件： 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于 P 点,延长 AP 交 ON 于点 B . 结论： △AOB是等腰三角形.

小结：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进

而得到对应边、对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在一起.

模型4角平分线+平行线=等腰三角形

条件： 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作 PQ //ON,交OM于点Q, 总结： △POQ是等腰三角形. 小结： 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.

双角平分线模型

模型1 “内内”双角平分线模型

条件： BP、CP为角平分线. 结论： ∠BPC=90°+

\frac{1}{2}

∠A.
模型2 “外外”双角平分线模型

条件： BP、CP为角平分线. 结论： ∠BPC=90°-

\frac{1}{2}

∠A.

模型3 “内外”双角平分线模型

条件： BP、CP为角平分线. 结论： ∠BPC=

\frac{1}{2}

∠A.
模型4 “8字型”下的双角平分线模型

条件： BP、CP为角平分线. 结论： ∠P=

\frac{1}{2}

(∠A+∠D).

模型5 同旁内角的双角平分线模型

条件： BO、AO为角平分线，CD⊥AB，AD∥BC. 结论： ∠AOB=90°, OD =OC,AB=AD+BC.

模型6凹四边形的双角平分线模型

条件： BE、DE为角平分线，BE交AD于点G. 结论： ∠E=

\frac{1}{2}

(∠A-∠C).

截长补短模型

模型：截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在 EF =AB+CD,可以考虑截长补短法. 截长法：如图②，在EF上截取EG=AB,再证明 GF =CD即可. 补短法：如图③，延长至H点，使BH=CD, 再证明AH=EF即可.

手拉手全等模型

模型1 一般等腰三角形

条件：AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 结论1： △ABD≅△ACE.

条件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等）. 结论2： 第三边所成的夹角∠BFC=∠BAC（8字型模型可推出）且四点共圆.

条件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等）. 结论3： FA平分∠BFE.（利用面积法以及角的平分线的判定定理）.

条件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等），P、Q分别为BD、CE的中点. 结论4： △APQ是等腰三角形.

条件： 等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等），点B、D、E三点共线时 结论5： A、B、C、E 四点共线.

条件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等），点D在BC上运动.

结论6：四边形ADCE是对角互补且邻边相等的共圆四边形，CA平分∠DCE.

模型2 等边三角形手拉手旋转

条件： △OAB，△OCD为等边三角形 结论： △OAC≅△OBD, 第三边的夹角∠AEB=60°,EO平分∠AED 四边形OABE对角互补, 四边形OCED对角互补、邻边相等、角平分线、60°的结论.

模型3 等腰直角三角形手拉手旋转

条件： △OAB，△OCD为等腰直角三角形 结论： △OAC≅△OBD, 第三边的夹角∠AEB=90°,EO平分∠AED.
正多边形中的全等模型 模型1等边三角形中的全等

条件： 等边△ABC，BD=CE. 结论： △ABD≅△BCE;∠ AFE =60°. 总结： 等边三角形中的全等，第三边所成的夹角等于60°.

模型2正方形中的全等

条件： 正方形ABCD，BE=CF. 结论： △ABE≅△BCF;∠AGF=90°. 总结： 正方形中的全等，第三边所成的夹角等于90°.

模型3正五边形中的全等

条件： 正五形ABCDE，BF=CG. 结论： △ABF≅△BCG;∠AHG=108°. 总结： 正五边形中的全等，第三边所成的夹角等于108°.

一线三等角全等模型

模型1同侧一线三等角

已知： ∠B=∠C=∠AED,AE=DE. 结论： △ABE≅△ECD.

模型1同侧一线三等角

已知： ∠AED=∠ABC=∠DCF,AE=DE. 结论： ΔABE≅ΔECD.

平行+中点全等模型

条件: AB ∥CD,O为BC的中点. 结论： △AOB≅△DOC.

将军饮马

链接：初中几何最值问题基本模型：将军饮马

模型1：定直线与两定点（一动两定型）

（一）距离之和最短（化折为直）

1.两侧型：两点分别在直线两侧（基础本质型）

已知：如图①，定点A、B分别位于直线L的两侧.

要求：在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.

作图：连接AB与直线L交于点P,点P即为所求作的点，PA+PB的最小值即为线段AB的长度.

证明：在直线L上任取一点动点P'，连接AP'，BP'.

在△ABP'中，

∵AP'+BP'≥AB,即AP'+BP'≥PA+PB，

∴当线段AB与直线L相交于点P时，PA+PB最小.

结论：PA+PB最小(AB)

2.同侧型：两点在直线同侧（将军饮马）

已知：如图①，定点A、B位于直线L的同一侧.

要求：在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.

作图：作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB'交直线L于点P，则点P即为所求.

证明：根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线，

由中垂线的性质得PB=PB',要使PA+PB最小，则需PA+PB'最小，从而转化为两侧型.

结论：PA+PB最小(AB').

（二）距离之差的绝对值最大

1.同侧型：

已知：如图①，定点A、B位于直线L的同一侧（A、B两点到L的距离不等）.

要求：在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图：连接AB并延长，与直线L交于点P,点P即为所求.

证明：在L上任取一点P'(异于点P),连接P'A，P'B.由三角形三边关系知|P'A-P'B|<AB，即|P'A-P'B|≤|PA-PB|.

结论：|PA-PB|最大(AB).

2.同侧型：

已知：如图①，定点A、B位于直线L的两侧（A、B两点到l的距离不等）.

要求：在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图：作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB'并延长，与直线L交于点P,点P即为所求.

证明：根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线，

由中垂线的性质得PB=PB',要使|PA-PB|最大，则需|PA-PB'|最大，从而转化为同侧型.

结论：|PA-PB|最大为AB'.

（三）距离之差的绝对值最小（垂直平分线性质定理应用）

要求：如图①、②，在直线L上找一点P,使得|PA-PB|有最小值.

作图：连接AB,作线段AB的垂直平分线与直线L交于点P，

点P即为所求作的点.

证明：由中垂线的性质得PB=PB,要使|PA-PB|最小为0.

结论：|PA-PB|的最小值为0.

模型2：角与定点（两动一定型）

（一）距离之和最短

1.定点在角的外部

已知：如图①，P点为锐角∠MON外一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得PA+AB的值最小.

作图：如图②，过点P作PB⊥ON于点B,PB与OM相交于点A.此时，AP+AB最小.

证明：AP+AB≥PB,当且仅当A，P，B三点共线时，AP+PQ取得最小值PB,根据点到直线的距离，垂线段最短，当PB⊥ON时，PB最短.

结论：PA+AB的最小值为PB.

2.定点在角的内部

已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得PA+AB的值最小.

作图：如图②，作点P关于OM的对称点P'，过点P'作ON的垂线分别交OM、ON于A、B.点A、B即为所求作的点.

证明：由轴对称的性质得PA=P'A,要使PA+AB最小，只需P'A+AB最小，从而转化为定点在角外部模型.

结论：PA+AB的最小值为P'B.

3.三角形周长最小

已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得△PAB的周长最小.

作图：如图②，分别作P点关于直线OM的对称点P'，关于ON的对称点P''，连接P'P''交OM于点A,交ON于点B,点A、点B即为所求，此时△PAB的周长最小，最小值为线段P'P''的长度.

证明：由轴对称的性质可知AP=AP',BP=BP'',△APB的周长AP+AB+BP=AP'+AB+BP'',当P'、A、B、P''四点共线时，其值最小.

结论：△PAB的周长最小为P'P''.

4.四边形周长最小

已知：如图①，P、Q为锐角∠MON内的两个定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得四边形ABPQ的周长最小.

作图：如图②，分别作Q点关于直线OM的对称点Q'，P点关于ON的对称点P''，连接P'Q'交OM于点A,交ON于点B,

点A、点B即为所求，此时四边形ABPQ的周长最小，最小值为线段P'Q'+PQ.

结论：四边形ABPQ的周长最小为P'Q'+PQ.

5.两动两定变式模型

已知：如图①，A、B为两个定点,P、Q为动点.

要求：在射线OM上找一点Q，在射线ON上找一点P，使得AP+PQ+QB最短最小.

作图： 如图②，分别作A点关于直线ON的对称点A'，B点关于OM的对称点B'，连接A'B'交OM于点Q,交ON于点P,点P、点Q即为所求，此时AP+PQ+QB最小，最小值为线段A'B'. 结论： AP + PQ + QB 最小为线段A'B'的长.
搭桥模型
模型1

已知： 如图①，直线m∥n,A,B分别为m上方和n下方的定点（直线AB不与m垂直）. 要求： 在m,n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+QB的值最小. 解析： PQ 为定值，只需要AP+QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（将军饮马）.

作图：如图②，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A'，使得AA'=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n于点Q,交直线m于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB最小.

证明：由作图过程可知四边形QPAA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP+PQ+QB的值最小.

模型2

已知：如图①，定点A,B分布于直线m两侧，长度为a（定值）的线段PQ在m上移动（P在Q左边）.

要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小.

解析：PQ为定值，只需要AP+QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（将军饮马）.

作图：如图②，将点A沿着平行于m的方向，向右移至点A'，使AA'=PQ=a,连接A'B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ，即A'B+a.

证明：由作图过程可知四边形APQA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP+PQ+QB的值最小.

模型3

已知：如图①，定点A,B分布于直线m的同侧，长度为a（定值）的线段PQ在m上移动（P在Q左边）.

要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB的周长最小.

解析：AB长度已经确定为定值，只需要AP+PQ+QB最小，可通过作A点关于m的对称点，转化为基本模型（将军饮马）.

作图：如图②，作A点关于m的对称点A'，将点A'沿着平行于m的方向，向右移至点A''，使A'A''=PQ=a,连接A''B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时四边形APQB的周长最小为A''B+AB+PQ，即A''B+AB+a.

中点模型

模型1倍长中线或类中线构造全等三角形

条件： AD是中线，延长AD至点E使DE=AD. 结论： △ADC≅△EDB(SAS)

条件： D是BC的中点，延长FD至点E使DE=AD. 结论： △FDB≅△EDC(SAS)

模型2三线合一模型

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形，，三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到.“边等、角等、三线合一”.

模型3中位线模型

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE //BC,且DE=

\frac{1}{2}

BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以解决角相等，线段之间的倍半、相等及平行问题.

模型4斜边中线模型

在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的-半，即 CD =

\frac{1}{2}

AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用.

半角模型

模型1基本模型

条件：OA=OB,∠AOB=2∠COD.

结论：△ODB≅△OD'A（旋转全等）；△OCD≅△OCD'（对称全等）.

模型2四边形半角模型

条件：∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.

结论：如图①△ADF≅△ABG；如图②△ABE≅△ADH（旋转全等）；

△AEF≅△AEG≅△AHF（对称全等）.

模型3正方形半角模型