2022年高考乙卷数学真题，椭圆综合题，正确率不到20
大家好！本文和大家分享一道2022年高考全国乙卷数学真题。这道题是2022年高考乙卷文科数学的压轴题，同时也是乙卷理科数学的第20题。这道题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线过定点等知识，整体来说难度还是不小，全班的正确率不到20％。
先看第一小问：求椭圆的方程。
求椭圆方程的最常用方法就是待定系数法，也就是先设出椭圆的标准方程，再求出参数的值即可。
但是，如果直接设椭圆的标准方程，那么需要先知道椭圆焦点所在的位置。本题中没有告诉焦点在x轴还是y轴上，所以就需要分为焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论。
为了避免分类讨论的麻烦，我们可以设椭圆的方程为mx^2+ny^2=1，其中m、n均为正数。然后将题干中的两个点的坐标代入，从而可以求出m、n的值，接着再转化为椭圆的标准方程即可。
这样设方程就不需要讨论焦点在x轴或者y轴上。如果m＞n，则焦点在y轴上；如果m＜n，则焦点在x轴上。
再看第二小问：证明直线过定点。
证明直线过定点，常用的思路有两个：
一是先通过特殊情况找出直线所过的定点，然后证明在一般情况下直线也过该定点。
二是直接表示出该直线的方程，然后通过变换证明出该直线过一个定点。
这两个思路一般都能证明出直线过定点，但是如果能快速找到特殊情况下的定点，那么优先考虑第一个思路。
比如本题中，由点A、B的坐标可以求出直线AB的方程为y=2x/3-2，而特殊情况就是直线PM斜率不存在时，即直线PM的方程为x=1。在这种情况下，很容易就可以求出点M、N、H的坐标，从而得到直线HN的方程。求出直线HN的方程后，在转化为点斜式，这样就可以证明直线HN过定点。
再看一般情况下，即直线PM斜率k存在时，先表示出直线PM的方程，再与椭圆方程联立，消去y，就可以得到一个关于x的一元二次方程。接下来就可以根据韦达定理得到x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2、x1y2+x2y1的表达式。接下来根据两向量的关系，就可以得到点T、H的坐标，从而表示出直线HN的方程。然后，将特殊情况下得到的定点坐标代入直线HN的方程，并将韦达定理得到的关系代入即可判断直线HN过定点。
当然，本题也可以按照第二条思路求解。根据题意，直线PM的斜率不可能为零，所以可设直线PM的方程为x=λx+2λ+1。联立直线方程和椭圆方程，可以求出点M、N的坐标，从而进一步求出点T、H的坐标，这样就可以表示出直线HN的方程。接下来再变换，找到所过的定点即可。
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