吴正宪：“一剥、一量”识周长 ——《面与周长》课堂实录

北京教育科学研究院 吴正宪 执教

首都师范大学附属顺义实验小学 王秀杰 张丽整理

一、对话交流，摸清底数, 找准起点。

上课伊始，吴老师在黑板上贴出三幅图纸（图1）。

（图1）

师:同学们，你们看到了什么?

（吴老师在关注儿童的关注。）

生1：我看到了三张纸片的颜色有红色、黄色和粉色。

生2：我看到了图形上面都有平平的面。

生3：我还看到了它们形状不同，有是正方形、有长方形还有三角形。

……

师：真好，你们不仅看到纸片上有不同的颜色，还看到了面， 发现了这些纸片长的样子不一样，是不同的形状。

师继续：如果以正方形纸片为例，你一眼就看到了它的什么？（聚焦问题）

生4：我一眼就看到了正方形纸片上有面，是平的。

（首先映入儿童眼帘的就是“面”这个强势的几何要素，可是今天这节课学习的内容认识周长啊！我们替吴老师捏了一把汗。）

师：除了看到了面，你们还有新的发现吗？

（吴老师娓娓道来，耐心引导，静静等待。）

生5：我看见了四条边。

师：请你到这里来指一指。（生5边指边数出4条边。但是指的轨迹没能形成“周”。）

生6：我还看到了正方形上有四个直角。

生7：我看到了有四个顶点。

随着同学们的回答，吴老师板书：面、边、角、点（图2）。并赞赏地说：“很好，你们用一双数学的眼睛去观察，有了这么多新发现！”正是有了老师的等待和导引，孩子们才有机会开始寻找图形中的“面、边、角、点”等几何要素。

（图2）

【评析：借助对三个图形的观察，了解儿童对图形的认识底数，找准儿童学习的起点，激活儿童对图形认识的基本经验。】

二、触手可及，让“面”与“周”浮出水面。

1、摸一摸，初步感受“面”与“周”的存在。

接着上面“生5”的话题开始了新的讨论。

师：刚才“生5”摸到了正方形纸片的四条边，你还可以怎样按照什么样的顺序指一指这四条边？

生：我从这里开始，一条边、两条边……我也摸到四条边。

这位学生边说边用手描出了一周的边线。

师：（吴老师随手在起点处标注一面小红旗。）再次引导观察：

你们注意到了吗？他在指‘边’的时候，从起点开始，(老师放慢了语速) 又回到了起点(几乎全班孩子一起喊了出来) 。正好指了……”“一圈。”众生异口同声。“这个‘一圈’在数学上也有个名字，叫‘一周’。一个图形一圈的边线就叫做一周。”

老师引导孩子们观察数学书、文具盒、课桌、纸片等进行观察，找一找封面上的“周”与“面”，再用手摸一摸。

师：（老师边说，边操作）你们伸展手掌摸到的就是这个平面图形的面（指整个图形的面），这你们用一个手指触摸的这一圈就是这个平面图形的周（指一周的边线）。

（板书：面与周）

【评析：不回避儿童首先看到的“面”，面对儿童的认知起点，迎面而上。调整既定的教学设计，顺应儿童的思维，抓住核心概念，引发儿童思考。通过摸一摸的活动，初步感受“面”与“周”的存在。教学活动把抽象的几何要素变成了儿童触手可及的自然体验。“面”与“周”顺理成章地一起走进了孩子们的数学世界。触摸中感受，感受中理解。为后续图形与几何的学习奠定了重要基础。】

2、 比一比，初步认识“面”与“周”的区别。

辨区别

师：刚才你们自己都摸到了图形的面与周，周和面是一回事儿吗？

众生：（纷纷摇头，小声嘟囔）：不一样。

师：哪里不一样？小组讨论交流，说说自己的想法。

全班汇报：

生1：面就是表面，周就是旁边。

生2：周就是边界，面在里边。

生3：周是图形一圈的边界。（补充的好）

生4：我认为周包围着面。

师：周包围着面，（面向大家）你们懂他的意思吗？

生4：就是面在周的里边，周在面的外边。

教室里响起了掌声，看来孩子们对二者的关系有了进一步的了解。

找联系

吴老师没有停止追问，继续引导孩子摸一摸“面”、指一指“周”，并说说它们之间的联系。

生5：面是平平的一大片。

生6：周好像是细细的一条线。

生7：面是平的，周是弯弯的一圈。

师：看来面是面，周是周，它们之间没有关系。同意吗？

生8：不同意！周在面的身上，周给面包上了。

生9：没有面就没有周，没有周也没有面。

生10：周和面不能分家，它们谁也离不开谁，是连着的一对好朋友。

师：这词儿用的真好。

吴老师面露笑容：正像你们所说的，它们不一样。面是平平的面，周像一条细细的线首尾相接围拢着，面是面，周是周。可是，你们又发现‘面’长在 ‘周’的里面，‘周’长在‘面’的外面，它们像一对亲密的兄弟。看来面与周既可以分得清清白白，又可以连得紧紧密密。

众生：它们又有分，又有合。

师：你们的感觉好极了！今天我们就一起来研究这些大小不一样的平面图形上的周。

【评析：儿童对“面”的感知是显性的，对“周”的感知是内隐的。吴老师直面儿童的认知难点，不回避本来本节课内容不涉及的强势要素的“面”，努力凸现出弱势要素的“周”。教学中，让儿童在“摸一摸”的活动中，初步感受“面”与“周”的存在；让儿童在“比一比”的活动中，初步感受“面”与“周”的区别与联系。

“面”与“周”有效地合一，又清晰地分离，分分合合，合合分分，环环相扣，抽丝剥茧悟概念。】

三、 “一剥”、“一量”识周长。

1. 剥离边线， 获得“一周” （明确研究对象）

师：请大家仔细观察（图3），我们把这个正方形一周的边线完完整整地取下来，想一想，从哪里开始，哪里结束？

（图3）

孩子们带着疑惑的目光看着吴老师，似乎不太相信。“一周的边线在哪里？怎么能取下来呢？”

孩子们带着好奇，期待着…… 只见吴老师从选定的起点开始，慢慢地把事先粘贴好的不易察觉的边线一点一点往下剥，一边剥还一边问：“几条边了？”随着吴老师剥，孩子们数着：“一条边、两条边、三条边。”（如图4）剥完三条边时吴老师停下来问：“现在是一周吗？”

生：不是。继续剥。

（图4）

当吴老师剥下最后一条边线，回到起点时（图5），孩子们兴奋地喊道：“停，正好是一周了！”

师：“这一周是几条边围成的？”

生：4条边。

（图5）

吴老师将剥下来“一周”的边线贴在黑板上（图6）。边贴边说：“这一周本来我们是不容易看不到的，但是这条细细的边线就这样被我们一点一点地剥下来了。这条线段是这个正方形的什么呢？”

生：一周。

被剥下来表示正方形“一周”的边线活生生地跃然在黑板上。

（图6）

板书：一周

2、 测量边线， 获得“周长” （确定测量对象）

吴老师指着正方形接着问：“这是根据一块正方形的小手绢画出的图形，现在想在手绢的一周缝上一条彩色的花边儿。你们最想知道什么？”简单的一问，巧妙地让孩子产生了度量的需求。

生：这一周的花边儿有多长？

师：要想知道一周有多长，有什么办法？

生：得用尺子量一量。（儿童已有测量线段的经验被激活）

在吴老师的引导下孩子量出剥下来的“一周”边线长78厘米。随即，将测量的数据记录在黑板上。（图7）

（图7）

师：这78厘米表示什么意思？

生：这条线段长78厘米。

师：这可不是一条随随便便的一条线段，这条线段是从哪里剥下来的？这78 厘米又表示什么意思？

生：这条线段是从正方形一周剥下来的，78厘米是正方形一周的长度。

师：太好了，你能给这个长度起个名字吗？

生：正方形一周的长度。

师：好，正方形一周边线的长度，我们就说是正方形的周长。

板书：正方形的周长

【评析：老师精心设计教具，把“一周的边线”活生生地剥离出来，让看不见的“周”变得清晰可见。在建立“一周”概念的基础上，引导儿童通过度量，获得结果，从而理解“周长”。在这样的活动中儿童深刻认识到：周长的研究对象是一周的边线，周长是对一周长度的刻画，是通过测量得到的结果，真切感受到度量对于周长的重要意义。】

3、在获得多种图形的周长中，抽象出“周长”概念

长方形周长：

（图9）

接着，吴老师指向长方形：你们怎样获得这个长方形（图9）一周的长度呢？

生：把一周的边线剥下来拉直，量一量。

吴老师和孩子们一起慢慢地把这个长方形“一周”的边线剥下来，粘贴在黑板上。一边剥一边让孩子们闭上眼睛想象，展开后什么样态。当黑板上出现了长方形一周的线段时，吴老师停下来：“不急，你们先估一估，它会比78cm长一些，还是短一些呢？”

生：长一些！

师：你根据什么判断的？

生：两条线段一比较，明显的看出长方形一周的线段长。

师：好，有道理。长方形一周的线段多长呢？

测量结果正好是100厘米。吴老师笑着说：“这100厘米叫什么呢？”

生：长方形的周长。

此时，同学们对“一周”和“周长”这样易混的概念已经可以初步正确辨析了。

（图10）

三角形周长、叶子的周长

吴老师接着指向三角形和叶子问：你能获得它们周长吗？有什么办法？

根据前面的经验，同学们很快将三角形（图11）和叶子（图12）的边线剥了下来，贴在黑板上。在估测之后，测量出两个图形的周长分别是58厘米和30厘米。

（图11）

（图12）

回顾小结。

师：78厘米表示的是正方形的周长、100厘米表示的是长方形的周长、58厘米表示的是三角形的周长……你们能总结一下，到底什么叫做周长吗？

经过讨论，得到周长概念。

板书：周长。

师：回顾一下你们是怎么获得这些图形的周长的呢？

经过讨论，认为四步完成：

1、确定测量对象；

2、找好测量工具；

3、选择测量单位；

4、获得测量结果；

师：孩子们越学越有味道，对周长的理解越来越深刻。

（图13）

【评析：在剥离、测量不同图形“一周”边线的过程中，再次深化理解了“一周”、“周长”等概念。在不断对比概念的过程中，体会到“周”是测量的对象，“长”是测量的结果，周长的本质即封闭图形一周长度的刻画。渗透度量意识。“周长”的概念潜移默化地深入到孩子心中。】

四、结合实际，深化理解核心概念

1.想办法获得数学书封面的周长。

要求独立观察、测量，从不同角度计算出结果。

师：数学书上没有粘贴着“看得见、摸得着”的一圈的边线，你们是怎么测量它的周长呢？怎么获得周长的结果？小组交流。（略）

2、真实情境中辨析概念

学校操场跑道（图14）、（图15）、（图16），小明分别沿着三种不同的路线（白色标记）跑步锻炼，请问这位同学跑的是一周吗？你怎样分析这个问题？

（图14-）--（图15）

（图16）

讨论中，对于（图15）、（图16）的判断正确率几乎是百分之百 ，而讨论的焦点集中在（图14）。小明跑过的白色轨迹到底是不是一周呢？

反方：小明跑过的白色轨迹不是一周。

正方：我们认为小明跑过的白色轨迹是一周，你们为什么说它不是一周？

反方：小明没沿着跑道跑完一圈。

正方：请问什么是一周？

反方：从起点开始，又回到起点，封闭上才是一周。

正方：难道（图14）不是封闭的一周吗？（小手比划着）

反方：（若有所思）……

大家顿悟：小周是周，大周也是周；小周非大周，大周非小周。

哈哈，哈哈，哈哈————

冲突在笑声中化解，思维在质疑中提升。

【评析：通过真实的情境，将数学概念与生活实际相连，感受数学知识的应用价值。儿童用数学的眼光观察、思考，提出问题，对话质疑，解决问题。不断完善对“一周”、“周长”核心概念的理解。提了认知水平。】

课堂回顾。

师：今天，我们首先认识了“面”与“周”。知道了如何测量平面图形“一周”的长度，从而认识了一个新朋友——周长。要想知道“一周”有多长，需要用工具（尺子）测量。你们还有问题吗？

生：要想知道“一周”有多长要用尺子量一量，那要想知道面有多大，是不是也得用尺子量一量啊？

师：这个问题问得好！是的，测量面的大小，也需要有工具来测量。

生：老师，这把尺子好像没法量面，测量面大小的尺子到底什么样啊？

师：那把尺子到底长的什么样子呢？不久你们一定会寻找到它。

生：老师，是不是周长越长，面就越大呢？

生：老师，我知道面就是面积，对吗？。

生：老师，我们家新房子里就有面积。

生：老师，我知道面积就是平方米。

生：老师……

下课的铃声响了，孩子们的问题依然不断……

就这样，孩子们带着疑问和好奇不舍地离开了教室。

“面积”的面纱被孩子们轻轻撩开，似懂非懂，他们根据周长是“被量出来的”推想到面积也需要测量， “量源于量”尽在其中……

【点评：吴老师与儿童的课堂简单、深刻、朴实、自然。儿童在这里经历了对几何概念从具体到抽象的认识过程，学习在这里真正发生。

在一次次“摸一摸”中，抽象的图形要素变成了儿童触手可及的自然体验。核心概念顺理成章地被儿童接纳，进而理解。

在“一剥、一量”的活动中，自然而深刻地认识并理解了“周长”。可谓抽丝剥茧、环环相扣、层层递进。

在一次次比较中，将一对对易混的概念“面”与“周”；“一周”与“周长”剥离的清清白白，又合拢的恰到好处。

铃声响而思未断。儿童就是在不断发现问题、提出问题、解决问题的过程中获得了思维的新进阶。】

实现深度学习的两个必要前提，一是教师对学情的准确把握，二是教师对学科内容的本质理解。这两点吴老师都做到了。

认识周长，是属于图形的测量这一内容。周长的本质是什么呢？是度量，是对一维图形“线”它的长度属性的度量，那么长度度量的本质是给每一条线以合适的数。所以，吴老师在学生理解区分什么是“周”和“面”之后，重点从度量的角度来认识“周长”，即一个图形一周的长度。只要说到度量，就要做四件事：度量对象（度量谁？）、度量单位（量的标准是什么？）、度量工具（用什么量？）、度量结果（量的结果是多少？）。通过这节课，在学生心里种下了一颗“度量”的种子，后面要学习的“面积”、“体积”包括中学要学习的“速度”，“密度”等都是度量，而“度量意识”就是我们要培养学生的一个重要核心素养。吴老师对内容的深刻理解还体现在对“面”和“周”的处理上。通过“面”引入“周”，重点体会什么是“周”，通过让学生说一说，摸一摸，辨析“周”和“面”的联系和区别，从而深刻的理解什么是“周”，为后面顺利引出“周长”做好准备。难道这不是深度学习倡导的要让学生掌握“系统化、结构化的知识”吗？很显然，是。

从整个数学学科看，除了度量意识外这节课还关注到学生估算意识、推理能力、应用意识等核心素养的培养。

充分发挥每一个教学材料的功用，精心设计每一个体验活动，恰到好处的追问和质疑都成为这节课的亮点。先说说教具，我就想到了吴老师想让学生深刻理解“周”和“周长”，一定会有“把毛线从边线上剥下来”的活动。在学生已经理解“面”和“周”是不一样之后，紧接着问：“面”和“周”不一样，“面”是“面”，“周”是“周”，它俩一点关系也没有？引导学生深入辨析，这个环节的设计也是精彩纷呈。

在吴老师执教的《面与周长》这节课上，通俗易懂且又直指核心本质的语言张口就来。比如“颜色就长在这个图形的面上”，“你们一眼就看到面了，它好像平平的、光光的”，“这个周，好像很窄，很细，它就像---一条线”，“面和周长的一样不一样？”，“周长在面的边上，面被周包围着”，“面在周的里面，周在面的外面，面和周长的不一样，面是面，周是周”“那这条细细的线藏在哪了？”，“我们要活生生的把那条看不见摸不着的线当众剥下来”，“这条线是从哪里剥下来的？”，“这长着一个丑八怪的图形，能求它的周长吗？”等等，就像这样富有童趣的语言形象而生动，怎么能不吸引学生呢？

吴老师的课堂语言不仅体现在易懂深刻，更体现在对儿童的评价激励等价值引领上。比如“只要你走心，我们的同学都会有提高！”，“你的感觉真好！”，“估虽然可以不准，但不能乱估！”，“任何时候，我们都不能忘了我们的初心”，“帮助人是不需要举手的！”等等。像这样的每一句话都体现吴老师对学生情感态度价值观的引领，这不仅仅是数学教学，更是数学教育。