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导数异构大放异彩,泰勒导数消导数异构大法,最重要的是证明必要性,实际上就是找出矛盾区间,在假设前提下...

导数异构大放异彩,泰勒导数消
导数异构大法,最重要的是证明必要性,实际上就是找出矛盾区间,在假设前提下,得出与题设矛盾的结论,从而得出正确结论,类似于反证法。这题源自专栏《突破导数瓶颈,绝不拖高考后腿》第26集。在证明必要性时忽略了x=0的情形,感谢网友指出问题。之前的做法是利用同构函数的保值性定理。在这里用导数异构大法再次证明。

​第二问

当x=0时,原不等式显然成立恒成立,此时a可取任何实数

当x>0时,

原不等式恒成立等价于

e^x-x-1/x-ln(x+1)≥2a

(这里要先证x-ln(x+1)>0当x>0时恒成立)

令h(x)=x-ln(x+1) (x>0)

易证h(x)在x>0递增

而易证e^x-1>x

所以h(e^x-1)>h(x)

而h(e^x-1)=e^x-x-1

所以e^x-x-1/x-ln(x+1) >1

所以2a≤1

即a≤1/2

综上,a≤1/2


同构e^x-2ax,单调增,导函数恒大于0即可

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