【河南中考】（2021年解答题23题）几何综合探究题解读与解析

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通过本文的学习（阅读），伙伴们要弄清楚以下几个问题 1.几何综合探究题河南出题有什么特点？有什么新的变化？ 2.5种基本的尺规作图有哪些？分别是如何作的？依据是什么？以往河南中考尺规作图常如何考查？ 3.证明全等的方法有哪些？常见的边、角相等的条件有哪些？你有什么经验教训？ 4.常见的全等模型有哪些？它们分别有什么条件？有什么结论？如何证明？有什么注意事项？ 5.证明相似的方法有哪些？常见的相似模型有哪些？它们分别有什么条件？有什么结论？如何证明？有什么注意事项？ 6.特殊角30°，45°，60°常处理如何？特殊角120°，135°，150°常处理如何？特殊角15°，22.5°， 75°常处理如何？ 7.常见的分类讨论有什么特征？分类讨论涉及的有哪些类型？分类讨论常出现在河南中考的哪些题位？你有什么经验？你有哪些困难？ 8.几何探究题中，往往涉及画图、分析转化，你有哪些方法策略？

2021河南中考解答题23题 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线． 简述理由如下： 由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线． ……

任务：

（1）小明得出Rt△ PGO ≌Rt△ PHO 的依据是 　 　 （填序号）． ① SSS ② SAS ③ AAS ④ ASA ⑤ HL （2）小军作图得到的射线 OP 是∠ AOB 的平分线吗？请判断并说明理由． （3）如图3，已知∠ AOB ＝60°，点 E ， F 分别在射线 OA ， OB 上，且 OE ＝ OF 1．点 C ， D 分别为射线 OA ， OB 上的动点，且 OC ＝ OD ，连接 DE ， CF ，交点为 P ，当∠ CPE ＝30°时，直接写出线段 OC 的长．
命题解读 本题是 与尺规作图结合的三角形综合题探究题 ， 命题出现一些新的变化， 难度上有所降低，试题有 继承，有变化，有创新： 1．试题的背景、设问、考点、阅读量均与以往有所不同． 以“尺规作角平分线”阅读材料为背景，考查全等三角形的判定与性质，要求学生通过材料阅读、思考填写作图依据、拓展作图并证明作图的合理性，并进一步探究求线段的长度； 2．试题加大了阅读量，试题注重引导学生关注数学本质，引导学生理性思考，自主思考，让学生真正体验探究学习过程； 3．试题改变以往的固化思维模型，打破了连续七年的 “手拉手模型” 的类比拓展探究题，加大激发学生的创新意识和探究意识； 4．试题依旧注重逻辑推理，依旧注重分类讨论，依旧注重拓展延伸，依旧注重探究意识培养，依旧注重基本图形的分析转化．
如何思考菁优网版权所有 （1）选填全等的依据 思维点 ：由作图得，∠ PGO ＝∠ PHO ＝90°， OG ＝ OH ， OP ＝ OP ，可知Rt△ PGO ≌Rt△ PHO 的依据 HL ； （2）证明 OP 是∠ AOB 的平分线 方法 1 ： 连接 EF ，证△ CEF ≌△ DFE ，从而得到∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，所以 OP 垂直平分EF，再利用“三线合一”可得 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法2： 连接 EF ，证△ CEF ≌△ DFE ，从而得到∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，再证△ OPE ≌△ OPF ，可得 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法3： 连接 EF ，证△ DOE ≌△ COF ，从而得到∠ OED ＝∠ OFC ，进一步∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，以 OP 垂直平分EF，再利用“三线合一”可得 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法4： 连接 EF ，证△ DOE ≌△ COF ，从而得到∠ OED ＝∠ OFC ，进一步∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，再证△ OPE ≌△ OPF ，可得 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法5： 由作图得， OC ＝ OC ， OE ＝ OF ，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明△ DOE ≌△ COF 、△ CPE ≌△ DPF 、△ OPE ≌△ OPF ，从而得到∠ POE ＝∠ POF ，所以 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法6： 连接 CD ，证△ DOE ≌△ COF ，导角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再垂直平分线和三线合一得 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法7： 连接 CD ，证△ DOE ≌△ COF ，导角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再证△ POC ≌△ POD ，所以 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法8： 连接 CD ，证△ CDE ≌△ DCF ，导角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再垂直平分线和三线合一得 OP 是∠ AOB 的平分线； 方法9： 连接 CD ，证△ CDE ≌△ DCF ，导角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再证△ POC ≌△ POD ，所以 OP 是∠ AOB 的平分线； …… （3）求 OC 的长 思维点： 连接 OP ，由已知条件可证明∠ OPC ＝∠ OCP ＝75°，从而得 OP ＝ OC ，再过点 P 作 OA 的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系及分类分别求出 OC 的长．
题目详解 解：（1） ⑤ ． 解法提示： 如图1，由作图得， OC ＝ OD ， OE ＝ OF ， PG 垂直平分 CE ， PH 垂直平分 DF ， ∴∠ PGO ＝∠ PHO ＝90°， ∵ OE ﹣ OC ＝ OF ﹣ OD ， ∴ CE ＝ DF ， ∵ CG CE ， DH DF ， ∴ CG ＝ DH ， ∴ OC + CG ＝ OD + DH ， ∴ OG ＝ OH ， ∵ OP ＝ OP ， ∴Rt△ PGO ≌Rt△ PHO （ HL ），故答案为： ⑤ ．

（2）射线 OP 是∠ AOB 的平分线，理由如下： 如图2，∵ OC ＝ OD ，∠ DOE ＝∠ COF ， OE ＝ OF ， ∴△ DOE ≌△ COF （ SAS ）， ∴∠ PEC ＝∠ PFD ， ∵∠ CPE ＝∠ DPF ， CE ＝ DF ， ∴△ CPE ≌△ DPF （ AAS ）， ∴ PE ＝ PF ， ∵ OE ＝ OF ，∠ PEO ＝∠ PFO ， PE ＝ PF ， ∴△ OPE ≌△ OPF （ SAS ）， ∴∠ POE ＝∠ POF ，即∠ POA ＝∠ POB ， ∴ OP 是∠ AOB 的平分线． （3）2或2 ． 解法提示： 如图3， OC ＜ OE ，连接 OP ，作 PM ⊥ OA ，则∠ PMO ＝∠ PME ＝90°， 由（2）得， OP 平分∠ AOB ，∠ PEC ＝∠ PFD ， ∴∠ PEC +30°＝∠ PFD +30°， ∵∠ AOB ＝60°， ∴∠ POE ＝∠ POF ∠ AOB ＝30°， ∵∠ CPE ＝30°， ∴∠ OCP ＝∠ PEC +∠ CPE ＝∠ PEC +30°，∠ OPC ＝∠ PFD +∠ POF ＝∠ PFD +30°， ∴∠ OCP ＝∠ OPC （180°﹣∠ POE ） （180°﹣30°）＝75°， ∴ OC ＝ OP ，∠ OPE ＝75°+30°＝105°， ∴∠ OPM ＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ MPE ＝105°﹣60°＝45°， ∴∠ MEP ＝90°﹣45°＝45°， ∴ MP ＝ ME ， 设 MP ＝ ME ＝ m ，则 OM ＝ MP ·tan60° m ， 由 OE 1，得 m m 1，解得 m ＝1， ∴ MP ＝ ME ＝1， ∴ OP ＝2 MP ＝2， ∴ OC ＝ OP ＝2； 如图4， OC ＞ OE ，连接 OP ，作 PM ⊥ OA ，则∠ PMO ＝∠ PMC ＝90°， 同理可得，∠ POE ＝∠ POF ∠ AOB ＝30°，∠ OEP ＝∠ OPE ＝75°，∠ OPM ＝60°，∠ MPC ＝∠ MCP ＝45°， ∴ OE ＝ OP 1， ∵ MC ＝ MP OP OE ， ∴ OM ＝ MP ·tan60° ， ∴ OC ＝ OM + MC 2 ． 综上所述， OC 的长为2或2 ．

: 方法总结 1．关注“基本图形” 提升“思维品质” 一个平面几何图形，常可分解成若干个基本图形．因此，基本图形是构成复杂图形的细胞．证明平面几何问题时，若从基本图形入手，先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形，然后充分利用这些基本图形的性质去证，常可思路广阔，容易证明．平时注意从习题中提炼常用的基本模型，并通过识模、用模，从而强化对基本图形的理解． 2．全等三角形的常见类型 （1）利用构造旋转型全等解决问题，主要涉及 “当图形中有一组邻边相等的问题”，解题时往往可以通过旋转构造全等解决问题 ，常出现在： ①半角模型： 特点是大角夹半角，且邻边相等，处理策略是先构造旋转型全等，然后判断对称型全等解决问题； ②对角互补模型： 特点是四边形对角互补，且有一组邻边相等或对角线平分角，处理策略是垂直法构造全等或旋转法构造全等； ③三爪图模型： 特点是背景三角形一般式是等边三角形或等腰三角形或等腰直角三角形或底角是30°的等腰三角形，和一定点并连接三角形三个顶点（这个定点可能在三角形内或者三角形外），处理策略是借助等线段共端点构造旋转型全等解题； ⑤手拉手模型： 理策略是借助等线段共端点构造旋转型全等或补全拉手线造全等解题； （2）对称型全等 与角平分线相关的常构造对称型全等； 3．特殊角处理策略 在解决有关线段或角度的问题，注意挖掘特殊角往往是解题的关键 (1) 认识特殊角： 初中常见的特殊角有: 30°,45°,60°,90°,120°,135°150°及15°、22.5°、75°等； 温馨提示： ①钝角的特殊角处理时,常转化为锐角的特殊角，一是考虑该角的邻补角转化为锐角，二是利用垂直，即减90°转化为锐角，然后构造直角三角形； ②15°处理方法：考虑倍角，构造含30°角的直角三角形； ③22.5°处理方法：考虑倍角，构造等腰直角三角形； ④75°处理方法：常分割为30°和45°的直角三角形. （2）与特殊角有关的常用结论 ①30°和60°直角三角形：含30°角直角三角形三边的比为：1： ：2； ②45°直角三角形：等腰直角三角形三边的比为：1:1： . （3）特殊角的处理策略 特殊角通常放在直角三角形中进行处理，也就是利用特殊角构造直角三角形，进一步 ①借助 三角函数或边的关系 转化计算求线段长度； ②对直角进一步处理，可利用直角构造“一线三直角”处理； 温馨提示： ①构造直角三角形（即作高），不能破坏特殊角； ②当一个三角形有两个不同的特殊角，常过非特殊角的顶点作高. 4．分类讨论思想 河南中考数学中， 分类讨论思想 可能分布于： 10题：动点与函数图象问题，涉及分段函数； 15题：动点与折叠，涉及点的位置不确定或图形不确定，双答案； 18题：特殊四边形动点探究题，涉及特殊四边形不确定； 21题：应用题中涉及分段求函数解析式或确定哪种方式合算； 22题：①新函数探究题中，如等腰三角形存在性问题，直角三角形存在性问题等； ②函数的性质应用题. 23题：几何探究题涉及位置不确定性（对偶性答案）.