数学学习：提高思维能力的主要途径
提要：本文为《怎样学好数学》 作者赵振威 1986年出版 内容选摘
适读对象：小学高年级、初中、高中学生以及有一定数学基础的家长
提高思维能力的主要途径：
思维能力不是先天就有的，也不是读几本书就能得到的。从总体上说，需要在思维科学理论的指导下，经过长期的思维的实践活动，才能逐步锻炼培养。
思维能力是一切智能活动的核心。它与其它的一些能力，如观察能力、理解能力、想象能力、记忆能力、语言表达能力等都是紧密联系的。提高思维能力的过程，实际上是以思维能力为中心，诸能力互相促进、共同发展的过程。
提高思维能力有多种途径，前面几节所谈的，实际上与思维能力的培养都是密切相关的。在数学中注意从以下各方面做起，是十分有益的。
1.精心观察，发掘对象的特征
观察是思维的知觉，通过观察，可以帮助我们获得大量丰富的感性材料。心理学研究表明，人的大脑所获得的信息，百分之八、九十是通过视觉和听觉进来的，所以，要发展自己的思维能力，必须勤于观察，敞开观察的大门，让外界信息不断地进入大脑。为了提高思维的敏捷性和正确性，还必须保证输入的信息是有系统、有条理的，而不是杂乱无章的。因此，我们不但要勤于观察，而且要善于观察，把看和想结合起来，有目的、有计划、有条理地进行观察，这样，才有助于我们发现问题，积极思维。
数学中，可以侧重于观察客观事物的数量关系和空间形式，在发掘数学对象的概念特征、事物的数量指标、算式的外形结构、图形的位置关系等方面多下功夫，也就是说，对所考察的数学对象，既要看整体、全貌，又要看局部、细节；既要看数字特点，又要看图形特征；既要看明显现象，又要看隐含本质；既要看一般属性，又要看本质属性；既要看共同之处，又要看不同之点；既要看各自特征，又要看相互联系，等等。
2.注重记忆，把握事物的规律
记忆是思维的基础。心理学实验表明，没有记忆，也就没有思维活动可言。只有把先前的反映结果有条不紊地保存在头脑中，才能使当前的反映在先前反映的基础上进行，使得这种反映更加全面，更为深入。从而也才能进行更复杂更高级的思维活动。
在具体思维时，先前的反映结果与当前的反映，常常是通过由此及彼的联想来沟通联系的。数学中的不少问题，在精心观察的基础上，通过联想有关的定义和规律，联想有关的解题技能和技巧，问题容易得到解决。
集合概念现在是高中数学
3.丰富想象，加强数、形的结合
想象是思维的翅膀。如果没有想象的参与，形象思维就难以进行，一般思维也不能升华为创造性思维。
这里所说的形象思维，是指凭借事物的形象（表象）而进行的思维。它主要是通过想象来实现的，也就是把一系列有关的表象融合在一起，构成一幅新形象的图景。形象思维多用于文艺创作，对于学习数学也有其积极意义。事实上，抽象的数学理论，是以丰富、生动的具体材料为背景的。学习数学，如果缺乏具体形象的支持，如果得不到形象思维的辅助，抽象思维是难于顺利进行的。例如，我们通过抽象思维去把握几何定理时，头脑中就要出现相应的几何图形的鲜明形象，并以它作为支柱展开积极的思维。
随着想象的不断丰富，把想象和抽象思维结合起来，就能形成创造性的思维。这是学习数学的一种宝贵品质。有了这种品质，在学习时就会对所学的知识进行创造性的加工，思考问题就能左右逢源，得心应手。例如，在解答数学题时，就不会拘泥于死板的模式，单纯地硬套公式，而能从各个不同的侧面深入思考，提出多种不同的设想，恰当地进行一题多解。
在数学中，可以侧重于在数和形的结合上发展想象能力，具体地说，可以通过多种途径，丰富数和形的种种表象，不断地充实已有表象的数量，改善已有表象的质量，扩大已有表象的储备；丰富数学语言，提高一般语言与数学语言相互“转译”的能力，使想象具有更大的概括性、深刻性和内在性；丰富生活经验，参加创造活动，有目的地捕捉数和形的形象。
4.学习逻辑，发展思维的形式
抽象思维（即逻辑思维）通常可分为形式思维和辩证思维两类。形式思维是凭借概念，按照形式逻辑规律而进行的思维，这种思维包括概念、判断、推理等循序提高的各种形式。形式思维是在形式逻辑范围内活动的，它撇开了事物的运动、变化和发展，是在相对静止的条件下认识客观事物的。辩证思维也是凭借概念，但按辩证逻辑规律而进行的思维。这种思维的形式，是具有辩证性质的概念、判断和推理。辩证思维在辩证逻辑范围内活动着，它是在运动、变化和发展的情况下去认识客观事物的。
中学数学是在常数范围内展开的，它所研究的数量关系，主要还是常量；它所讨论的空间形式，主要还是固定的图形。这就使形式思维在中学数学中有着广泛的应用。高等数学主要研究运动、变化着的事物的数量关系和空间形式。这就使辩证思维成为学习和研究高等数学的必要工具。
这就告诉我们，学习逻辑，掌握抽象思维的基本形式，熟悉思维活动的基本规律，可以帮助我们有效地提高思维能力中学数学是在形式逻辑基础上建立起来的。因此，在学
习过程中，形式思维起着坚实的主干作用。为了让读者对这方面的知识有深切的了解，我们在第三章将以辩证思维作指导，详细地讨论形式思维的形式和规律。
5.善于总结，活用思维的方法
思维的过程，实质上就是运用思维的方法去认识客观事物的过程。从这个意义上来说，要发展自己的思维能力，就必须自觉地掌握思维的方法。
但是，常用的思维方法，不是固定不变的模式，通常需要斟酌问题的具体情形，灵活地结合起来使用，才能有效地进行思维。这就要求我们，在自己的各种具体思维的过程中，要善于总结成功的经验，努力找出失败的教训。
总结思维中的成功经验，有多种方式。例如，关于解答数学题，至少可以从两方面进行总结：一是总结数学题的类型，把属于同一概念而以不同形式出现的数学题，或由某一数学题或概念衍生出来的数学题进行归纳整理，找出其在思维上的特点和处理方法；二是总结重要定理、公式和常用解题方法的应用，探索其适用范围和使用方法。通过这样的总结，有助于提高思维的准确性、敏捷性和创造性，为灵活运用各种思维方法创设条件。
找出思维中的失败教训，也有多种方法。例如，关于解答数学题，常常可以从题解是否做到正确、合理、完满、简捷、清楚等方面去探究，不断总结失败教训，有助于提高思维的全面性、深入性和逻辑性，增强运用各种思维方法的自觉性。
提高思维能力，是一个复杂的、综合训练的过程，上面所讲的只是一些主要方面。读者可以根据自己的具体情况，在思维训练的实践中，作进一步的探索。
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