题目中惊现“布洛卡点”，你能挑战成功吗 - 初中联赛几何100题之23

题目：已知，点 D 是ΔABC 内一定点，且有∠DAC=∠DCB=∠DBA=30⁰.

求证：ΔABC 是正三角形

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

解法一：从结论倒推条件非常简单，考虑用“同一法”。但是，如果尝试反证ΔABC不是正三角形，就会与已知条件矛盾，这个路子很难走通。

因此我们换一个方向，不从角度或者边长入手反证，而是从DA,DB,DC是否等长入手。

如果DA=DB=DC，结论成立。

如果三条线段中有两条相等，可设DB=DC,那么做ΔACD的外接圆，易知BC是圆的切线，所以证得B,D,O共线。从而BA也是圆的切线，BA=BC，加上∠ABC=60⁰,结论成立。

如果三条线段两两不等，那么可以通过构造一个B’点来导出矛盾，说明这样的情况不存在。

在ΔABC为正三角形的情况下，在CB延长线上取点B’，使DB’>DB。在AD劣弧上取点A’，则∠CA’D=30⁰，DA’<DA

设AB与A’B’交于E点

如果∠EB’B=30⁰,则B’,B,D,E四点共圆，∠DEB就会同时出现大于30度和小于30度的矛盾。所以∠EB’B不等于30度。

这意味如果出现DA,DB,DC两两不等的情况，就会出现这样的矛盾。所以ΔABC必须是正三角形。

解法二：有30度的三角形内角，考虑作外接圆

如图，作ΔABC的外接圆,延长AD交圆于E，延长BD交圆于F

∠ABF和∠EAC都是30度角，所以AF=CE，并且都等于外接圆半径R；

∠EDC=∠DAC+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB=∠F

∠E=∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠DAC+∠CAF=∠DAF

从而ΔADF~ΔECD,得到AD·DE=AF·CE=R²

AD·DE等于D点相对于外接圆的幂，等于R²减去D到圆心的距离

所以D到圆心距离为0，即D点为外接圆圆心

由此易证结论。

总结：这个题目的条件相当简洁，3个角，6条线，但是要找到证明的方法缺并不容易。除了两种解法之外，还有解析法、三角函数法等解法。

其实这道题有着更一般的情形，30度角只是一种特殊情况。这种三角形内一点形成三等角的点和角被称为布洛卡点和布洛卡角，有许多有趣的特征。有兴趣的读者可以自行查阅

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