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这道题告诉你学霸有什么好方法 - 小学奥数每日一题028

题目:小明所在班级共37名同学,他们即将举行五子棋比赛,每两名同学都只比赛一局,且每局比赛都分出胜负。另外,班级准备评选“好棋手”,评选规则是:如果某一名同学甲是“好棋手”,则对任意的同学乙,要么甲直接胜过乙,要么能找到另一名同学丙,使甲胜了丙且丙胜了乙。比赛结束后,发现只能评选出一名“好棋手”。小明说:“好棋手”不一定每局都胜。小红说:“好棋手”一定每局都胜。请问小明和小红谁说的对?

今天的题目是组合数学问题。

如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。


思路分析:

这道题属于组合数学问题,要说明小明说的对,只需要构造出一种比赛结果即可;

要说明小红说的对,需要给出严格的证明。

我们前面多次强调,这类题目大多选择严格证明,这道题也不例外。

要证明唯一的“好棋手”每局都胜,可以采用反证的方法。

假设A是唯一的“好棋手”,但未全胜。

接着在胜过A的那些人中,再想办法寻找一个“好棋手”。


解题过程:

假设A是唯一的“好棋手”,但未全胜。

首先在胜过A的那群人中间考虑,

类似于昨天正文中的题目可得,

一定能找到某个胜过A的同学B,

对于任意一个胜过A的同学C,

要么B胜过C,

要么能找到另一个胜过A的同学D,

使B胜过D且D胜过C。

另一方面对于任意一个输给A的同学E,

由于B胜过A且A胜过E。

这说明B也是一个“好棋手”。

但这与A是唯一的“好棋手”矛盾,

出现矛盾的原因使假设不成立,

因此A一定获得了全胜,

所以小红说的正确。


你学会了吗?

有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题

思考题:原题目换个问题。

小明所在班级共37名同学,他们即将举行五子棋比赛,每两名同学都只比赛一局,且每局比赛都分出胜负。另外,班级准备评选“好棋手”,评选规则是:如果某一名同学甲是“好棋手”,则对任意另一名同学乙,要么甲直接胜过乙,要么能找到另一名同学丙,使甲胜了丙且丙胜了乙。比赛结束后,某人胜的局数不是最多,他有没有可能是“好棋手”?


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