题目:小明所在班级共37名同学,他们即将举行五子棋比赛,每两名同学都只比赛一局,且每局比赛都分出胜负。另外,班级准备评选“好棋手”,评选规则是:如果某一名同学甲是“好棋手”,则对任意的同学乙,要么甲直接胜过乙,要么能找到另一名同学丙,使甲胜了丙且丙胜了乙。比赛结束后,发现只能评选出一名“好棋手”。小明说:“好棋手”不一定每局都胜。小红说:“好棋手”一定每局都胜。请问小明和小红谁说的对?
今天的题目是组合数学问题。
如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。
思路分析:
这道题属于组合数学问题,要说明小明说的对,只需要构造出一种比赛结果即可;
要说明小红说的对,需要给出严格的证明。
我们前面多次强调,这类题目大多选择严格证明,这道题也不例外。
要证明唯一的“好棋手”每局都胜,可以采用反证的方法。
假设A是唯一的“好棋手”,但未全胜。
接着在胜过A的那些人中,再想办法寻找一个“好棋手”。
解题过程:
假设A是唯一的“好棋手”,但未全胜。
首先在胜过A的那群人中间考虑,
类似于昨天正文中的题目可得,
一定能找到某个胜过A的同学B,
对于任意一个胜过A的同学C,
要么B胜过C,
要么能找到另一个胜过A的同学D,
使B胜过D且D胜过C。
另一方面对于任意一个输给A的同学E,
由于B胜过A且A胜过E。
这说明B也是一个“好棋手”。
但这与A是唯一的“好棋手”矛盾,
出现矛盾的原因使假设不成立,
因此A一定获得了全胜,
所以小红说的正确。
你学会了吗?
有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题
思考题:原题目换个问题。
小明所在班级共37名同学,他们即将举行五子棋比赛,每两名同学都只比赛一局,且每局比赛都分出胜负。另外,班级准备评选“好棋手”,评选规则是:如果某一名同学甲是“好棋手”,则对任意另一名同学乙,要么甲直接胜过乙,要么能找到另一名同学丙,使甲胜了丙且丙胜了乙。比赛结束后,某人胜的局数不是最多,他有没有可能是“好棋手”?
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