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平行线的性质典型问题分析

例题1.一大门栏杆的平面示意图如图,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE.若∠BCD=150°,则∠ABC=________度.



解析:如图,过点B作BM∥AE.因为CD∥AE,所以CD∥BM∥AE,所以∠1+∠BCD=180°,∠2+∠BAE=180°.因为∠BCD=150°,∠BAE=90°,所以∠1=30°,∠2=90°,所以∠ABC=∠1+∠2=120°.


例题2.如图,点D在射线AE上,AB∥CD,∠CDE=140°,求∠A的度数.

解:因为∠CDE=140°,所以∠CDA=180°-140°=40°. 因为AB∥CD,所以∠A=∠CDA=40°.
例题3.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度数.

解:如图,因为直线AB∥CD,所以∠3=∠1=54°,∠2=∠5. 因为BC平分∠ABD,所以∠4=∠3=54°, 所以∠2=∠5=180°-54°-54°=72°.
例题4.如图,EF∥AD,∠1=∠2,猜想∠BAC与∠DGA之间的数量关系,并说明理由.


解:∠BAC+∠DGA=180°. 理由:因为EF∥AD,所以∠2=∠BAD. 又因为∠1=∠2,所以∠1=∠BAD, 所以AB∥DG, 所以∠BAC+∠DGA=180°. 例题5 .如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?


解:如图,过点B作直线BE∥CD. 因为CD∥AF,所以BE∥CD∥AF,所以∠ABE=∠A=105°, 所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°. 又因为BE∥CD,所以∠CBE+∠C=180°,所以∠C=150°.

例题6.有一天,许威同学用“几何画板”画图,他先画了两条平行线AB,CD,然后在平行线间画了一点E,连接BE,DE后(如图K-19-17①),他用鼠标左键点住点E,拖动后,分别得到如图②、图③、图④等图形,这时他突然一想,∠B,∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢?接着许威同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能,找到了这三个角之间的关系. (1)你能探讨出图①至图④各图中的∠B,∠D与∠BED之间的关系吗? (2)请从所得的四个关系中选一个,说明它成立的理由. 解:(1)图①中,∠BED=∠B+∠D;图②中,∠BED=360°-∠B-∠D;图③中,∠BED=∠D-∠B;图④中,∠BED=∠B-∠D. (2)(答案不唯一)选图①中的∠BED=∠B+∠D. 说明理由如下: 过点E在∠BED的内部作EF∥AB. 因为AB∥CD,所以EF∥CD. 因为AB∥EF,所以∠B=∠BEF. 因为EF∥CD,所以∠D=∠DEF, 所以∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D.

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