平行线的性质典型问题分析
例题1．一大门栏杆的平面示意图如图，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD＝150°，则∠ABC＝________度.
解析：如图，过点B作BM∥AE.因为CD∥AE，所以CD∥BM∥AE，所以∠1＋∠BCD＝180°，∠2＋∠BAE＝180°.因为∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，所以∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠ABC＝∠1＋∠2＝120°.
例题2．如图，点D在射线AE上，AB∥CD，∠CDE＝140°，求∠A的度数．
解：因为∠CDE＝140°，所以∠CDA＝180°－140°＝40°.
因为AB∥CD，所以∠A＝∠CDA＝40°.
例题3．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
解：如图，因为直线AB∥CD，所以∠3＝∠1＝54°，∠2＝∠5.
因为BC平分∠ABD，所以∠4＝∠3＝54°，
所以∠2＝∠5＝180°－54°－54°＝72°.
例题4．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，猜想∠BAC与∠DGA之间的数量关系，并说明理由．
解：∠BAC＋∠DGA＝180°. 理由：因为EF∥AD，所以∠2＝∠BAD. 又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BAD， 所以AB∥DG， 所以∠BAC＋∠DGA＝180°. 例题5 ．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105°，第二次拐的角∠B是135°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解：如图，过点B作直线BE∥CD. 因为CD∥AF，所以BE∥CD∥AF，所以∠ABE＝∠A＝105°， 所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°. 又因为BE∥CD，所以∠CBE＋∠C＝180°，所以∠C＝150°.
例题6.有一天，许威同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图K－19－17①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着许威同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)你能探讨出图①至图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
(2)请从所得的四个关系中选一个，说明它成立的理由．
解：(1)图①中，∠BED＝∠B＋∠D；图②中，∠BED＝360°－∠B－∠D；图③中，∠BED＝∠D－∠B；图④中，∠BED＝∠B－∠D.
(2)(答案不唯一)选图①中的∠BED＝∠B＋∠D.
说明理由如下：
过点E在∠BED的内部作EF∥AB.
因为AB∥CD，所以EF∥CD.
因为AB∥EF，所以∠B＝∠BEF.
因为EF∥CD，所以∠D＝∠DEF，
所以∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D，
即∠BED＝∠B＋∠D.
解析：如图，过点B作BM∥AE.因为CD∥AE，所以CD∥BM∥AE，所以∠1＋∠BCD＝180°，∠2＋∠BAE＝180°.因为∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，所以∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠ABC＝∠1＋∠2＝120°.
例题2．如图，点D在射线AE上，AB∥CD，∠CDE＝140°，求∠A的度数．
解：因为∠CDE＝140°，所以∠CDA＝180°－140°＝40°.
因为AB∥CD，所以∠A＝∠CDA＝40°.
例题3．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
解：如图，因为直线AB∥CD，所以∠3＝∠1＝54°，∠2＝∠5.
因为BC平分∠ABD，所以∠4＝∠3＝54°，
所以∠2＝∠5＝180°－54°－54°＝72°.
例题4．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，猜想∠BAC与∠DGA之间的数量关系，并说明理由．
解：∠BAC＋∠DGA＝180°. 理由：因为EF∥AD，所以∠2＝∠BAD. 又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BAD， 所以AB∥DG， 所以∠BAC＋∠DGA＝180°. 例题5 ．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105°，第二次拐的角∠B是135°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解：如图，过点B作直线BE∥CD. 因为CD∥AF，所以BE∥CD∥AF，所以∠ABE＝∠A＝105°， 所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°. 又因为BE∥CD，所以∠CBE＋∠C＝180°，所以∠C＝150°.
例题6.有一天，许威同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图K－19－17①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着许威同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)你能探讨出图①至图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
(2)请从所得的四个关系中选一个，说明它成立的理由．
解：(1)图①中，∠BED＝∠B＋∠D；图②中，∠BED＝360°－∠B－∠D；图③中，∠BED＝∠D－∠B；图④中，∠BED＝∠B－∠D.
(2)(答案不唯一)选图①中的∠BED＝∠B＋∠D.
说明理由如下：
过点E在∠BED的内部作EF∥AB.
因为AB∥CD，所以EF∥CD.
因为AB∥EF，所以∠B＝∠BEF.
因为EF∥CD，所以∠D＝∠DEF，
所以∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D，
即∠BED＝∠B＋∠D.
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