高考数学秘笈：四步解题法18——揭示本质之本质特征
冯跃峰
所谓揭示本质，就是从本质上把握事物的特点与性质。
数学问题的本质，是指那些直接影响解题的有关信息。它主要包括两个方面：
一是本质特征，即问题具有的与解题有关的一些特点和性质。
二是本质要求。任何数学问题都对解题者提出了明确的要求，“明确目标”仅仅是认识了题目要求的表象，但这种要求的本质是什么？由条件到结论实质上是要做一项什么工作？还需要解题者从更高的层次上去把握。
我们看一个例子。
例1、设f（x）是R上的增函数，且
求f（x）。【分析与解】先明确目标，求出所有合乎要求的f（x）的解析式。
以题中给出的两个条件为起点，可建立如下解题主线：
f（x）是R上的增函数，
——→ f（x）=…遗憾的是，这两个条件如何运用？一时还难以看出端倪。
比如，如何利用“f（x）是R上的增函数”？根据增函数的本质特征，要利用增函数进行推理，需要先有一个不等式“u f（u） 将此特征与目标比较，显然的差异是：目标为等式，而条件为不等式。 由此想到，为了利用条件，目标能否用不等式的形式来刻画？ 假定f（x）的解析式已经求出，设为p（x），则目标变为 f（x）=p（x）。 它的含义是，对任何实数x，等式都成立，没有例外。 现在要将目标转化为不等式，则只需排除哪些“例外”即可：假定存在x₁，使 f（x₁）≠p（x₁）， 则有两种可能： 或者f（x₁） 或者f（x₁）>p（x₁）。 将这两种情形都否定掉即可。这也就为利用函数的递增性创造了时机。 现在需要做的事情是，确定p（x）是什么。这可借助另一个条件： 联想到反函数图像的相关知识，可知f（x）的图形沿直线y=x对称后，图像与本身重合，由这一几何特征，不难发现p（x）=x（当然，几何直观需要辅之以代数的严格证明）。 至此，我们只需证明， f（x₁）< x₁、f（x₁）> x₁ 都不可能成立即可。 这采用反证法推理模式，结合函数的单调性，问题迎刃而解。具体解答如下： 【新写】首先，f（x）=x是合乎条件的函数。 下面证明它是唯一合乎条件的函数。 假定存在x ₁，使f（x ₁） f（f（x ₁））< f（x ₁）。 又由题意，有 代入上式，得 即x ₁< f（x ₁），这与假设矛盾。 所以，对一切x，恒有f（x）≥x。 同样可以证明，对一切x，恒有 f（x）≤x。故f（x）=x。 下面看一个简单的例子。 例2、一根长为l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（厘米）和时间t（秒）的函数关系是 （1）求小球摆动的周期； （2）已知g=980厘米/秒²，要使小球摆动的周期是1秒，线的长应是多少厘米？ 【分析与解】本题选自中学数学课本，它包含了多种信息。其中有些信息与解题是无关的，如“线”、“小球”、“平衡位置”、“位移”、“时间”等，这些都对解题没有影响； 而有的信息则与解题密切相关，如“周期”、“函数 u=Acos（ωx+φ）内函数的周期。 第二问则不过是反过来由周期求常数l，认识到这一点，问题就不难获解。 显然，对于（1），小球摆动的周期 T= = 对于（2），令T=1，则 解得
我们再看一个难度稍大一点的例子。
例3、设x>2，求
的值域。【分析与解】见到这种形式的值域问题，不少同学立马想到“判别式法”。
但殊不知，这里有附加条件“x>2”，与通常值域问题存在差异：需要讨论相应二次方程在（2，+∞）上的根的分布，过程很繁。
又或者想到分离整数部分的变形技巧，虽然过程相对上一方法简单些，但仍较繁。
我们这样来理解问题的本质特征：令
，则所求值域，就是y的取值范围。更广义地说，只要能求出某个关于y的函数q（y）的取值范围，然后解不等式，即可得到y的取值范围。
由于y与x相关，从而q（y）亦与x相关，可以表示为：p（x）=q（y）（参数分离形式）。
如果其中p（x）是我们熟悉的基本函数，容易求其值域，则问题迎刃而解：设p（x）的值域为A，有q（y）∈A，由此即可得出y的变化范围。
有了对问题本质特征的认识，解题思路则豁然开朗，具体解答如下：
【新写】令
，则 。整理，得
分离参数，得
所以，
，进而
即
因为x>2，所以
所以
即
这等价于（2y-1）（y-1）<0，
解得
故f（x）的值域为（
，1）。下一个问题解法与之类似，留给读者作为练习。
例4、设-1
求
的值域。【分析与解】本题若用分离整数部分的变形技巧，则过程较繁，因为涉及到负数取倒数的变形。下面采用把握目标本质特征（广义目标）的思路，则过程较为简单。
令
，则2xy+y=1-x，所以（2y+1）x=1-y，
所以
。因为-1
由
，得，即
，所以y<-或y>0。由
，得
，所以y<-2，或y>-
。故
的值域为（-∞，-2）∪（0，+∞）。
【一点说明】 所有文章免费阅读，谢谢转发、分享。
最新文章
-
王长绅紫微斗数之廉贞天相在子午守财帛宫，命宫为武曲星
19分钟前 -
磁共振扫描操作磁共振冠脉成像（一）
33分钟前 -
“病急乱投医”
50分钟前 -
择日——吊用“太阳、太阴”吉神到宫的方法
1小时前 -
古诗词中的十大人生境界，古今一付笑谈中
1小时前 -
史上最全K线图大全：70种+42个K线组合图解
2小时前 -
明朝最大遗憾：崇祯若答应李自成条件，明朝不会灭亡，还灭了满清
2小时前 -
孔子语录100句（附释文）国学经典
2小时前
热门文章
-
业医必修——孙思邈《大医精诚》
1周前 -
怎样从门口看房屋吉凶
1周前 -
低估了广东的“甘蔗马蹄茅根水”，喝完半个小时就舒服了！
1周前 -
痰湿体质如何调理 最全痰湿体质调理方法(8)
1周前 -
自制家庭小咸菜
1周前 -
七彩神龙指标源码（八戒神龙主图无未来函数）
7天前 -
《奇门遁甲预测术》奇门：格局庚
6天前 -
10种朝鲜咸菜的腌制方法
7天前
有话要说...