罗素悖论(Russell's paradox),也称为理发师悖论,是罗素于1901年提出的悖论,一个关于类的内涵问题。罗素悖论当时的提出,造成了第三次数学危机。
“理发师悖论”内容
一位理发师说:“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”
那么理发师是否给自己刮脸呢?如果他给的话,但按照他的话,他就不该给自己刮脸(因为他'只'帮不自己刮脸的人刮脸);如果他不给的话,但按照他的话,他就该给自己刮脸(因为是'所有'不自己刮脸的人,包含了理发师本人),于是矛盾出现了。
我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论:
罗素悖论:设命题函数P(x)表示“x∉x”,现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是:A∈A是否成立?首先,若A∈A,则A是A的元素,那么A具有性质P,由命题函数P知A∉A;其次,若A∉A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A∈A。
罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。
书目悖论:
书目悖论与理发师悖论基本一致。可以说是罗素悖论的另一种通俗表达形式。内容是:一个图书馆要编纂一本书,其内容是列出该图书馆里所有不列出自己书名的书的名字。那么作为目录的书该不该列出自己的书名?
有话要说...