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关于直线对称点坐标公式，这个公式也太复杂了吧，但却很常用

今天在研究中考数学压轴题时，遇到一道超麻烦的问题，麻烦之处，在于它多次要求已知点关于已知直线的对称点坐标。

按照一般步骤，先设过已知点与已知直线垂直的直线解析式，然后代入已知点的坐标，确定这条直线的解析式。

然后根据对称点所在直线的解析式，假设对称点的坐标。最后根据两点到直线距离相等，列关于对称点横坐标的方程，从而解得对称点的横坐标，并且得到对称点的坐标。

一番操作下来，还是比较繁的，架不住这道题三番两次要重复这个过程。因此老黄就想，如果有关于直线对称点坐标公式，那该多好多简便啊。

虽然网上有现成的公式，但是学习这件事情，老黄不想假手于人。因此老黄还是决定自己推导一下。没想到结果如此之复杂。设点(x0,y0), 求关于直线Ax+By+C=0的对称点, (A^2+B^2不等于0)。

按照上面叙述的一般过程，先设过已知点与已知直线垂直的直线解析式：Bx-Ay+D=0, 代入已知点的坐标，求得D=Ay0-Bx0. 因此直线的解析式为：Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.

可设对称点的坐标为(x,(Bx+Ay0-Bx0)/A), 则：

|Ax0+By0+C|=|Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C|，因为对称的两点在对称轴的两侧，所以

Ax0+By0+C+Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C=0，化简得：

x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),

(Bx+Ay0-Bx0)/A=B((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^3+AB^2)+y0-Bx0/A.

横坐标的公式还好说，纵坐标的公式就未免太复杂了。而且当A=0时，它是没有意义的。那怎么办呢？其实对称点的横坐标和纵坐标是具有一定的对称性的。我们可以由它的对称性，直接得到纵坐标y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2). 或者运用上面的推导过程再推导一次。

因此点(x0,y0), 求关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为

(((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)) (A^2+B^2不等于0).

这个坐标公式，看起来想要记住还是有可能的。接下来检验一下它的正确性。

先举一个最简单的例子：比如点(2,1)关于横轴的对称点是(2,-1)，这里A=0，B=1, C=0, 因此对称点的坐标：

x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=x0=2,

y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=-y0=-1. 检验正确。

再随便举一个例子：比如点(1,2)关于直线3x-2y+1=0的对称点坐标记为(x,y)，这里A=3, B=-2, C=1. 则

x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-5x0-6(-2y0+1))/13=1,

y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(5y0+4(3x0+1))/13=2.

所以点(1,2)关于直线3x-2y+1=0的对称点还是它本身，这一开始吓到了老黄，但仔细一点，原来点(1,2)在直线上，所以结果也是正确的。

凡事不过三，最后举一个例子：比如点(2, 3)关于直线2x+y-3=0的对称点记为(x,y)，这里A=2, B=1, C=-3. 则

x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-3x0-4(y0-3))/5=-1.2,

y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(3y0-2(2x0-3))/5=1.4

通过作图，结合求点关于直线的对称点坐标的一般方法。我们就可以检验这个答案是正确的。

你也可以继续举一些例子来检验。以后我们在求点关于直线的对称点坐标时，就可以直接运用这个坐标公式了。

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