问题背景
(以上题目来源于网络)
01
巧借旋转、翻折构造全等三角形
借助∠EAF=45°,借助翻折、旋转等运动,构造全等三角形,从而将原来不在同一直线(同一三角形)的三条线段转化在同一直线(同一直角三角形)中,寻找线段间的数量关系。
本题的第一问需要证明EF=BE+DF,
由于三条线段都不在一直线上
,因此借助
∠EAF=45°
,通过
旋转△ABE
,
利用两次三角形全等
,
将线段EF、DF和BE都转化到线段PF上
,因此达到线段的转化。
本题的第三问涉及到了“
一条线段的平方等于另两条线段的平方和
”,因此联想
构造直角三角形
,借鉴第一问的方法,可以
通过旋转构造全等三角形
,将所有线段转化到
直角△DQN
中,利用
勾股定理
证明线段间的数量关系。
同样,借助翻折也可以构造直角三角形,方法如下:
在等腰直角三角形中同样适用
本题的第四问同样涉及到了线段的平方和,
但是左边是2倍的平方和,因此联想到“√2”
,即联想到等腰直角三角形,因此本题的关键在于
构造全等三角形和直角三角形,同时要发现其中隐含的等腰直角三角形
。对于另一种情况,采取同样的构造方法。
本题的第六问涉及到了线段间的数量关系。因此需要将BA和BE转化到一条线段上,借助旋转,构造全等三角形,再根据等腰直角三角形的性质,进行进一步的转化。(其中一组等边利用第五题的结论得到)
02
构造相似三角形
本题的第二问涉及到了角相等的证明,根据第一问可以得到一组等角。但是
另一组角需要利用图中丰富的“斜X型相似三角形”进行转化
。
本题的第五题要证明△ANE为等腰直角三角形,联想与△ACD相似,通过边的转化,可以
利用△ACE与△ADN相似得到AE:AN=√2
,因此本题通过两次相似进行证明。
本题的第七题和第八题借助第五题的结论,通过
相似三角形对应边成比例,得到相应线段的比值
。
本题的第十一题利用相似三角形的性质“
相似三角形的面积比等于相似比的平方
”,得到相似三角形间的数量关系。
03
借助平行线分线段成比例定理
本题的第九题通过作平行线,
借助平行线分线段成比例定理证明中点
。
本题的第十题在第九题的基础上,结合等腰直角三角形的性质,证明线段间的倍半关系。
END
有话要说...