初中数学：与圆有关的角-例题与求解（培优19）
与圆有关的角
【阅读与思考】
1.与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角特别的，直径所对的圆周角是直角圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的项点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.
2.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.
3.熟悉以下基本图形和以上基本结论.
【例题与求解】
【解析】
连接DE，由∠B+∠ADE=180°；∠ADE+∠EDC=180°得∠B=∠EDC，证△EDC~△ABC，则再由相似三角形的面积之比等于边长比的平方.
【点评】
本题考查了相似三角形的性质，面积之比等于对应边之比的平方.
【解析】
本题是利用相似三角形来求值的题目，关键是确定要证明哪两个三角形相似.
例如本题中欲求BM的值通过得出△AMB~△BMD得到AM/BM=BM/DM从而建立起已知待求之DM间的关系.证明三角形相似的方法有很多种，本题是通过“两角对应相等的两个三角形相似”来证明△AMB~△BMD的另外，在圆中找相等角时，别忘记“同圆或等圆中，等弧所对的圆周，角相等”的性质哦!
1.欲求BM的值，根据图形中线段及角的关系，必须先得到AM/BM=BM/DM、AM的值，你有解题思路了吗?
2.在求取AM/BM=BM/DM、AM的值中，关键在于得到AM/BM=BM/DM，即需要证明△AMB~△BMD，你有什么办法?
3.只要有∠BAM=∠MBC，并结合条件∠AMB=∠DMB利用两角对应相等的两个三角形相似，便能证明△AMB~△BMD了!
【解析】
(1)根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；
(2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=1/2*BD，OM=1/2*AE，ON//BD，AE//OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；
(3)证明的方法和(2)一样.
【点评】
本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质.
【点评】
本题考查了圆周角定理、在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了圆内接四边形的性质和三角形相似的判定与性质.
【点评】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理、直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.
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