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初中数学-培优专题：绝对值

初识非负数

【阅读与思考】

绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：

【例题与求解】

【解析】

先根据a，b，c均为整数，得出a-b和a-c均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c之间的关系，用a表示出b、c，代入原式进行计算.

【小结】

本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出a、b、c之间的关系式解答此题的关键.

【点评】

本题主要考查了非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.同时考查了运用运算律使计算简便,该题有一定难度.

【解析】

根据abc>0与abc<0两种情况分类讨论，分别求出原式的值即可.

【点评】

此题考查了有理数的除法，绝对值，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【点评】

本题考查了绝对值的意义及最值问题，首先明确数a的绝对值一定是非负数，其次要知道S的最小值就是相邻数相减，从而得出结论.

【点评】

此题考查了非负数的性质及绝对值的性质，利用绝对值的性质去绝对值是解题的关键，要注意分类讨论.

【A级能力训练】

方法一：

方法二：

【解析】

有理数m，n，p满足|m|/m+|n|/n+|p|/p=1，所以m、n、p≠0，根据绝对值的性质，本题可分三种情况:

①当m>0，n>0，p<0时；②当m>0，n<0，p>0时；

③当m<0，n>0，p>0时，根据以上三种情形分类解答.

【点评】

本题综合考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出m、n、p的值是解答此题的关键.

【解析】

根据有理数a、b、c在数轴上的对应位置，即可确定大小关系，从而判断绝对值内的式子的符号，即可去掉绝对值，从而把式子进行化简.

【点评】

此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.

【解析】

根据绝对值的定义可先判断出b的范围，进而判断出a的范围，相乘即可.

【点评】

考查绝对值的相关计算；判断出a，b的范围是解决本题的难点.

【解析】

根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可得到a，b的大小关系，再利用有理数的运算法则以及绝对值的性质分别进行判断.

【点评】

此题主要考查了绝对值的性质以及数轴上的数:右边的数总:是大于左边的数，从而确定a，b的大小关系，并且考查了有理数的运算法则.

【解析】

先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解.

【点评】

本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握运算法则和性质并确定出a、b的值是解题的关键.

【解析】

分m≥0、m<0分别化简原式可得.

【点评】

本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义和性质是解题的关键.

【解析】

含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号.若大于等于0，可直接去绝对值；若小于0，去绝对值时原式要乘以-1.由此可得x-2≤0，再解此不等式即可.

【点评】

本题考查了绝对值和不等式的性质.含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号.若大于等干0可直接去绝对值；小于0，去绝对值时原式要乘以-1.

【解析】

分两种情况讨论:

(1)当a-b≥0时，由|a-b|=a+b得a-b=a+b，所以b=0.

(2)当a-b<0时，由|a-b|=a+b得-(a-b)=a+b，所以a=0.从而选出答案.

【点评】

本题考查了绝对值的性质，是基础知识比较简单.

【解析】

根据la-b|≤9，|c-d|≤16，且la-b-c+dl=25，可知|a-b|=9，|c-d|=16，且a-b和c-d的符号是相反的，然后分两种情况讨论即可.

【点评】

本题主要考查绝对值，解决此题时，关键在于确定出a-b和c-d的值，根据其值计算即可.

初识非负数

【B级能力训练】

【解析】

先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入分式进行计算即可.

【点评】

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

【解析】

根据数轴确定出a的绝对值大于1，然后列式求出a的值，再代入代数式进行计算即可得解.

【点评】

本题考查了绝对值的性质，数轴的知识，是基础题，根据数轴判断出a与1的绝对值的大小是解题的关键.

【解析】

由ab>0得a、b同号，分两种情况讨论:①a>0，b>0；②a<0，b<0.

【点评】

本题考查了绝对值的性质，正数的绝对值等于本身；负数的绝对值等于它的相反数.

【解析】

根据绝对值和偶次方的性质，可以求出x，y的值，把x，y的值代入代数式求出代数式的值.

【点评】

本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据偶次方和绝对值的性质，得到一元二次方程，用因式分解法解方程，求出x，y的值，再把求出的值代入代数式计算.

【解析】

根据x的范围化简|x-p|+|x-15|+|x-p-15|为30-x，再结合x的范围，求得它的最小值.

【点评】

本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最值.属于基础题.

【解析】

由于0≤a≤4，则a-2及3-a的符号不能确定，故应分类讨论出a-2及3-a的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可.

【点评】

本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解.

【解析】

当a、b的符号相反或其中的一个为0时，|a-b|=la|+|b|成立，由此可得结论.

【点评】

本题主要考查绝对值不等式的性质，属于基础题.

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