入门量子力学2.4：薛定谔方程
量子力学基本假设：薛定谔方程
时间演化算符
我担心你会对过多的代数感到疲惫，在进一步讨论有关算符的一般性质之前，让我们讨论一点物理——引入算符的一个重要的实例，时间演化算符（time-evolution operator）。
设系统在时刻的态为，另一时刻的态为，态是怎样从一个变成另一个的？我们想要的无非是“输入一个态，输出一个态”，可以用一个算符来作为桥梁：
称为时间演化算符，简称演化算符，其有两个输入参数，表示演化从 t0 开始，到 t 结束。对右矢而言算符的作用是从右到左的，故两个时间参数也从右到左写，注意不要搞错。
这样抽象的关系式能告诉我们什么呢？让我们通过一系列物理上的要求将其具体化。首先，如果我们待在同一个时刻，即，那么应该有
其次，一段时间演化可以分成多步，如：
即，演化算符的复合仍然是演化算符，参数“首尾相接”：
其中我们并不需要限制这几个参数的大小关系，这可以容纳反向演化——已知后来的态，要求之前的态（【注】注意这和时间反演不同，是单纯的“倒带”。），如：
即，交换演化算符的两个参数将得到逆算符。相应地，让左矢从演化到的算符应为
人们往往将演化开始的参考时刻设为，此时演化算符中可以只写出终止时刻：，问题中不考虑多个终止时刻时甚至直接写为。
考虑态的内积如何随时间演化还将得到另一个重要的要求，对任意初始态，默认归一化则初始内积为，由于自身内积有总概率这一物理意义，则任意时刻态的自身内积都应为：
一次归一化，始终归一化。这告诉我们
——演化算符取厄米共轭就得到逆算符，取等于取逆称为算符的幺正性（unitary，是的，这就是个音译）。因此，人们常将量子力学中的时间演化称为幺正演化。我们立刻看到幺正演化的后果是，不仅态的自身内积，任意内积都不随时间变化：
这一性质时常称为信息守恒。
与幺正演化针锋相对的则是投影测量，投影测量从现象上看起来会丢失信息，许多人将这视为我们宇宙中不可逆性的起源（之一）。当然，投影测量只是一个理想化的黑箱，测量过程的物理实质仍有待商榷。
通过考虑所谓的无穷小演化，我们可以得到演化算符的最具体形式。设从时刻演化到与其邻近的时刻，演化算符为，可对其形式上泰勒展开：
其中算符刻画了这个无穷小演化算符相对于单位算符的偏离程度。是否考虑更高阶的项不影响最终结论，考虑一阶就已足够。幺正性要求
若从一开始就保留高阶项则仍能得到同样结论。要让等式成立，就要求
即是厄米算符。
这意味着什么呢？实际上，我们先前对演化算符的要求恰好是数学上对群（group）的要求，态空间上全体演化算符构成了一个群，时间平移群（time translation group），上面引入的算符 Ω 就是这个群的生成元（generator）。我们并不需要你熟知群论，重要的是，艾米·诺特（Emmy Noether）提出的诺特定理告诉我们，时间平移的生成元就代表能量！
准确地说，和哈密顿量算符（Hamiltonian）成正比，而能量是哈密顿算符的本征值——我们很快就会学到。由于都没有单位——无量纲，则与相乘的应该有时间倒数（频率）的量纲。为了量纲平衡，等于哈密顿算符除以一个有角动量或者说作用量的量纲的常量，提到量子力学中有角动量量纲的常量，我们自然想到普朗克常量：
无数量子力学实验验证了这确实和我们在SG实验中遇到的是同一个常量。
薛定谔方程
一般地，考虑和之差：
我们得到
这就是演化算符的薛定谔方程（Schrödinger equation for the time-evolution operator）。
薛定谔方程
量子系统的时间演化由一个幺正的时间演化算符给出，演化算符通过薛定谔方程由系统的哈密顿量决定。
演化算符的薛定谔方程，或者简单说，幺正演化是量子力学的基本假设，无论是否考虑相对论、考虑的对象是粒子或是场，这个最广义的薛定谔方程都成立。薛定谔方程的线性性再次强调了量子力学是一个线性理论。在方程两边同时右乘初始态，注意到这是个常矢量，可以放进时间求导内，有
这就是（稍微狭义的）态矢量的薛定谔方程（我们将来会看到，还可以让态不随时间演化，而是让算符随时间演化，得到海森堡方程。）。
态矢量的薛定谔方程告诉我们态的时间演化不能突变，于是可以回答一个常见的问题：“测量投影后会怎么样？”答案是以投影得到的末态为新的初态代入上述方程，结果是态会“一点一点地”（关于时间必须可导！）偏离这个新的初态，如果短时间（相对于态演化的快慢）内再次测量，则大概率会投影到上一次的结果——态还没来得及偏离太多。
而薛定谔最初给出的狭义的薛定谔方程：
则是非相对论无自旋单粒子的位置波函数的方程（定语很多！），其具体意义将来会介绍。
为了求解微分方程得到，我们需要知道。我们可以先考虑和我们要处理的量子系统类似的经典系统，其哈密顿量常常可以诠释为动能加势能，并且其中只包含位置和动量两个基本变量。如对一个自由运动的电子，考虑一个自由运动的经典质点
按这个表达式将动量替换为动量算符（同样要将来引入）就得到了哈密顿算符（【注】这里出现的另一个量，质量为什么不换成算符呢？一种回答是，经典哈密顿力学中只考虑正则坐标和正则动量，既然量子力学继承其概念，那我们可以合理认为只有位置和动量需要算符化。但实际上有质量算符！比如对中微子我们就引入了质量算符，为什么？因为我们观测到了中微子振荡——中微子处于不同质量的叠加态——的现象。换言之，这很大程度上取决于经验事实的驱动。）。当然，也有一些没有经典类似的量子系统，那时我们就要另想办法。
注意到
作为演化算符本身的导数，本身也可以随时间变化，甚至不同时刻的可以不对易。我们暂且考虑简单的情况：
此时我们只需要不断地进行无穷小演化，就可以得到完整的有限大演化，具体来说，将演化时长分成份，则依次复合有
取的极限，则有
仿照实数集上的极限，我们将上式右边的这样的极限定义为算符的指数，即
求出上述极限就求出了演化算符，由于不变，只需要调整其中的初末时刻和，作用到态上，就可以得到我们想要的任意时间演化。
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