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初中数学|经典几何问题：圆中的辅助线

初中数学往期模型


圆中的辅助线

模型1.连半径构造等腰三角形

已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，

结论：∠A=∠B。

分析：与圆有关的题目，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决求角度问题。

例子：如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，

且AB=OC，求∠A?

证明：

联结OB，∴△BOE是等腰三角形。

∴∠E=∠OBE,

∵AB=OC=OB，

∴∠A=∠BOA,

∵∠EOD是△AEO的外角，

∴∠EOD=∠A+∠E,

∵∠OBE是△ABO的外角，

∴∠OBE=∠A+∠BOA=2∠A,

∴∠E=2∠A,

∴∠EOD=3∠A=84°,

∴∠A=28°。

思考：如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD=OB，且∠B=54°。试求∠A的度数？

提示：

联结OC、OD，计算∠BOC=72°。

再通过等腰三角形，得到

∠BOC=3∠A。与上题类似。

思考：如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM=MO。

求证：弧AP=1/3弧BQ。

提示：

联结OQ、OP，证明∠BOQ=3∠POA。

模型2.构造直角形

如下图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，

则∠ACB=90°。

如下图，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，

则OE2+AE2=OA2。


分析：

（1）当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路。

（2）在解决求弦长、弦心距、半径问题时，常构造弦心距或联结半径作为辅助线，再利用勾股定理进行计算。

思考：如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60°，

求：CD的长度。

提示：

联结OD，作OF⊥DE，

利用∠DEB=60°，求出线段OF,

再利用勾股定理求出DF。

思考：如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE=5，BE=13，点O到AB的距离为2√10，求点O到CD距离，线段OE的长及⊙O的半径。

提示：

如图作出辅助线，多次运用勾股定理。

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注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！

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