原题背景:沪教版八年级第二学期第22找那个第三节“特殊的平行四边形”例题
变式1:将条件一般化(改为∠B=∠EAF)
解法分析:由于去除了∠B=60°这一特殊条件,因此联结AC后不能构成两个共顶点的等边三角形,可以采取图③(利用等高构造全等的直角三角形)以及图④(截长补短法构造等腰三角形),具体的解法以及通法可以点击以下链接:
变式2:将条件和结论互换(已知AE=AF,求证∠EAF=60°)
解法分析:由于条件和结论互换后,联结AC或出现“S.S.A”的情况,无法证明三角形全等。仍旧可以沿用图③和图④辅助线的添线方法进行证明。
变式3 : 将条件一般化 (将点E、F的位置由原来在线段上变为在射线上) 解法分析: 由于条件一般化后需要根据题意分类讨论。即点在线段或其延长线上。本题的第1问E在线段的延长线上,需根据题意画出新的图形,再按照例题的方法,即联结AC,反向全等三角形证明即可;本题的第2问涉及函数关系的建立,求△ADF的面积,只需要过点A作高即可,利用30°-60°-90°三角形的性质,即可求高,最终用含x的代数式表示三角形的面积;本题的第3问是存在性问题,由于AB//DF,因此分别以AB和DF为对边作平行四边形,即F在CD延长线上这种情况。 变式4 : 将条件变化“位置” (将点E、F的位置由原来在BC、CD上变为在直线BC、CD上,改变为∠AEF=60°) 解法分析: 由于条件变为∠AEF=60°,此时不满足共顶点等边三角形的特征,因此需要采取新的辅助线的添加方式。本题第1问是点在线段上的情况,由于还是证明AE=AF,而很难构造以AE和AF为边的全等三角形,因此,尝试构造以AE、EF为边的全等三角形,利用“截长补短法”,构造全等三角形;本题的第2问虽然改变了点的位置,但是辅助线的添线方式和证明方式还是一致的。 变式5 : 将条件特殊化&题设结论互换 (点E和点F分别是BC和CD的中点&已知等边三角形,反求∠B度数)
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