无论是小学奥数中,还是在初中常规方程中,鸡兔同笼问题都是非常典型的.
鸡兔同笼问题,不仅是我国古代数学名题,也是多种数学思想与解题方法的载体.学霸数学小编以此题开篇,以敬先贤,也希望以此挖掘归纳出此题的思想方法,让同学们掌握方法的同时,更多的了解数学问题中的文化内涵.文尾也会留下相同的问题,供同学们解答.
在中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》中就有“鸡免同笼问题”:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何.”翻译成现代文:若干只鸡与兔子同关一处,从上看有35个头,从下看有94条腿,问有鸡兔各多少只?
古人对于“鸡兔同笼”问题早已经给出了许多精妙解法.例如在《孙子算经》中说到:上置头,下置足,半其足,以头除足,以足除头即得.此方法就是半足法.而《算法统宗》给出了两种算法:一种是“置总头倍之得七十,与总足内减七十余二四,折半得一十二是兔,以四足乘之得四十八,总足减之余四十六足为鸡足,折半得二十三”;另一种算法叫做倍头法,就是先求鸡的只数.
可能多数同学看不懂上述古文表述,下面我们分析一下现代人们的解法:
解法一:半足法,也称“金鸡独立”法
我们假定鸡和兔子通人性,能听懂人话,也能服从主人的命令,主人吹个口哨,一声令下,所有的鸡抬起一条腿,而兔子抬起两条腿,这时候我们如果蹲到地上,一数腿数,就会发现地上腿的总数变成了原来的一半,即47条腿.而鸡的腿数与头数相同,一条鸡腿就代表一只鸡,而兔的腿数是兔的头数的2倍,这意味着每条多出来的腿代表着一只兔子,因此从47里头减去头数35,剩下来的就是兔的头数12只,于是鸡有35-12=23只.
解法二:抬脚法
此方法在以前的算学课本中很常见,也是我国更相减损术的一个应用,晚清民国时的算术启蒙基本都采用这种方法.仍然是假设鸡和兔子都通人性,一声令下,鸡跟兔子都两时抬起两条腿,这时鸡扑通一声,坐到了地上,而兔子还有两条腿立在地上,地上总有剩下94-35×2=24条兔子腿,故兔共12只,鸡23只;当然,此法也可进行用“砍足法”来求解,同学们可以大胆尝试.
解法三:极端假设法.在新中国成立后,由华罗庚等人参与编纂的数学读物里常出现的解法
假设所有的兔子都变成了鸡,那么如果是35只鸡,就总共会有70条腿,但实际的腿数却有94条,我们假设的比实际数目少24条腿,变少的原因在于兔子的腿少数了2条,于是兔子的只数24÷2=12只,鸡23只.当然,假设全是兔时,思路一样,同学们可以试一试
解法四:公平设计法.
中国科学院院士张景中教授给出一种被称为“公平设计法”的解法:兔子有4条腿,而鸡却只有两条腿,这简直就是种族歧视,实在不公平,所以我们就将鸡的两个翅膀也看作腿,那么总共有35×4=140条腿,如果不把翅膀当作腿时,那么腿只有94条,所以多出的140-94=46条腿,是鸡翅,于是鸡的只数46÷2=23只,则兔有12只.
以上解法主要对相应的数据进行改变,通过差异进行修正和还原,最后使原问题得到解决的思想方法,此为假设法.当然,除了上述4种方法外,我们还可以使用方程,一元一次方程和二元一次方程组都可以轻松解决;也可非常巧妙的通过面积法来解决;
解法五:一元一次方程
设鸡的数量为x只,则兔子为(35-x)只,2x+4(35-x)=94,解得x=23;
解法六:二元一次方程组
设鸡的数量为x只,兔的数量为y只,则x+y=35,2x+4y=94,x=23,y=12;
解法七:面积法
李树清在《鸡兔同笼问题的解法探讨》一文中提出把鸡兔同笼问题变成一道几何题来做,如下图,AB=35,表示共35个头,BC=2,表示鸡的两条腿,AF=4,表示免的4条腿,总面积为94,求AH和BH,即兔、鸡各有多少只?
此法的巧妙之外在于将代数问题转化为几何问题,腿的总数=鸡头数2+兔头数2,转化为长方形的面积=长宽,
SAHEF+SHBCD=AH∙HE+BH∙BC=94,延长CD交AF于点G,SABCG=35×2=70,故四边形GDEF的面积为94-70=24,FG=2,所以EF=24÷2=12,即兔子为12只,鸡为23只.
综述:鸡兔同笼问题虽易,但它可能是多数人接触到的第一个有方程思想的古代数学名题;方法中抬腿、砍足法的应用,天马行空却不失其合理性.
留下以下两个问题,供同学们思考:
①有鸡和兔共40只,有120条腿,问鸡兔各多少只?
②小明买了铅笔和钢笔共30支,铅笔2元一支,钢笔5元一支,共花了120元,问铅笔和钢笔各多少支?
有话要说...