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立体几何问题到底建系好，还是几何法好，2022高考数学真题分析

立体几何关于线面夹角或者面面夹角的问题，通常有两种常用的解法，一种是通过建立坐标系，用向量的知识解。这种方法套路性很强，掌握之后，相当于手握一把解决此类问题的万能钥匙。另一种当然是几何法了，找到该夹角，在夹角所在的直角三角形中，利用三角函数的基本概念解决起来，可能更加简便。几何法的主要难点在于找到这个夹角。通常受限于空间想象力，这个夹角都很难被找到。或者找到了，又很难凑足求解的条件。

那么底是建系向量法好，还是几何法好呢？其实这个问题并不矛盾的。因为建系向量法，需要找到一个适合建系的点，作为原点，还需要三条“两两互相垂直”的直线，作为空间坐标系的三条轴。因此，我们在找建系的位置时，大可以同时找一找，这个夹角。如果发现这个夹角太难找到，就立即放弃几何法，专心攻破建系向量法。如果夹角很容易找到，又何必去建立坐标系呢？比如下面这道2022高考数学理科全国甲卷的立体几何问题，它的线面夹角就非常容易找到。只是找到了，你未必能意识到，它就是你要找的线面夹角。这是怎么回事呢？我们先来看题吧！

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB, AD=DC=CB=1，AB=2，DP=根号3.

(1)证明：BD⊥PA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

分析：(1)运用逆向思维，想要证明BD垂直于PA，可以通过证明BD垂直于平面PAD，而PD垂直于BD，所以只要证明BD垂直于AD就可以了。为此，需要取AB的中点E，并连接CE，DE，就可以得到菱形BCDE，和平行四边形ADCE，从而证明AD垂直于BD了。

(2)如果建系的话，就以D为原点，BD为x轴，AD为y轴，PD为z轴。也是挺直接的。不过PD和平面PAB的线面夹角也是很容易找到的。只要取AE的中点F，即AB靠近A点的那个四等分点。连接DF和PF，那么，角DPF就是我们要找的线面夹角。

这是因为三角形ADE易证一个等腰三角形，AE是底边，所以DF垂直于AB，又PD垂直于AB，所以AB垂直于平面PDF。只要过D作DG垂直于PF于点G，那么DG就同时垂直于AB，也就垂直于平面PAB，所以角DPF就是PD和平面PAB的线面夹角。因为它符合线面夹角的定义。

然而我们并不需要作出DG来，因为三角形PDF是直角三角形，所以我们可以直接求这个线面夹角的正弦值了。

证明：(1)取AB的中点E，连接CE，DE，则

BE=AE=AB/2=1=CD=CB，又CD//AB,

∴四边形BCDE是菱形. 四边形ADCE是平行四边形，

∴BD⊥CE，CE//AD,∴BD⊥AD,

又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD,

∴BD⊥平面ADP,

又PA⊂平面ADP，∴BD⊥PA.

(2)取AE的中点F, 连接DF, PF, 则AF=AE/2=1/2.

∠DPF就是PD与平面PAB所成的角.

AD=AE=DE=BC=1, ∴DF=根号3 AF=根号3/2.

PD⊥DF, ∴PF=根号(PD^2+DF^2)=根号15/2.

sin∠DPF=DF/PF=根号5/5.

当然，这不表示建系法不重要，两种方法我们都要掌握。老黄再尝试用建系法解一解，看看这道题的两种方法是不是同样简便。

(2)方法2：以D为原点，BD为x轴，AD为y轴，PD为z轴建立坐标系，则

A(0,1,0), P(0,0,根号3)，设B(b, 0,0)，由根号(b^2+1)=2，解得b=根号3(舍去负值).

向量PA=(0,1,-根号3)，向量AB=(根号3,-1,0)，

设平面PAB的法向量为：n(x,y,z)，

则 y-根号3 z=0,根号3x-y=0.取y=根号3，则z=1, x=1. 【y可以取0之外的任意实数.】

向量DP=(0,0,根号3)，

记向量n与向量DP的夹角为θ，则cosθ=n*DP/(|n|*|DP|)=根号3/根号(15)=根号5/5.

即PD与平面PAB所成的角的正弦值为根号5/5.

那么这两种方法，你到底更喜欢哪一种呢？

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