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【存在性系列】菱形存在性问题

菱形是一种特殊的平行四边形,和平行四边形相比较而言多了邻边相等,或者对角线互相垂直等特点。因此,我们根据这些特点来处理菱形的存在性问题

01理论准备

菱形在平面直角坐标系中需要满足以下条件:

注意2中两点距离公式可以利用勾股定理推导

以上的等量关系我们知道,菱形的存在性问题最多存在3个变量。因此,在处理的时候关键是建立变量之间的等量关系

02引例

如图,在坐标系中,A点坐标(-1,1),B点坐标为(3,4),点Cx轴上,点D在平面中,求D点坐标,使得以ABCD为顶点的四边形是菱形

【解题策略一】等腰+对角坐标等量关系

设D的坐标为(m,n),C的坐标为(a,0)

【解题策略二】平行四边形+领边相等

【点评】此方法可以实现“盲解”,即不用画图,即可实现求解。但是,我们算出的点需要进行一定的验证,看看是否满足实际的条件才行.

03例题精讲

1.如图,抛物线y=x2-2x-3x轴交于A,B两点(A在点B的左侧),与y轴交于点C,P是直线y=x+1上一动点,点Q在平面内,是否存在以点P,Q,A,C为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由

【两定两动】坐标轴动点+平面动点

【两定两动】对称轴动点+平面动点

【两定两动】斜线动点+平面动点

P为顶点时

此时F与B重合,不符合题意

04小结


通过上面的例题我们可以发现,无论动点在什么位置。菱形存在性问题,一般的处理思路是先构造等腰三角形,然后根据对角顶点等关系求解。



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