本题选自2022年贵港中考数学选择题第11题,难度不大,但是此类问题较为常见,经常出现在选择或者填空题中。
此类问题关键是确定直角三角形,利用锐角三角函数的定义进行求解。
【题目】
(2022·贵港)如图,在4×4网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
观察图形发现△ABC并非直角三角形,必须构造直角三角形才行。
如图,延长AC与正方形网格的边线交于点D,连接BD,
即可得到△BCD为等腰直角三角形。
那么只需要求出AD与AB的长即可。
易得AB=5,AD=2√5。
那么cos∠BAC=AD/AB=2√5/5。
结论就出来了。
此类问题一般是直接找格点,观察图中的点,找到一个合适的即可。
【方法二】
当然,格点不好找的时候,与可以直接作垂线,如下图,过点C作CD⊥AB于D。
此时需要求出AD与AC才行。
由于CD为△ABC的高,因此求出△ABC的面积即可。
根据割补法,可以得到△ABC的面积为
S=3×4/2-1×3/2-1×2/2-1=5/2。
而AB=5,
则CD=2S/AB=1。
由于AC=√5,那么就可以得到AD=2。
所以cos∠BAC=AD/AC=2/√5=2√5/5。
【方法三】
如果有的同学学过高中的向量知识,直接可以用向量的坐标公式进行求解。
向量与夹角的余弦值为
那只需要求出两个向量的坐标代入即可。
以点B为坐标原点,建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(4,3),C(3,1)。
此时可以得到向量AB的坐标为(-4,-3),
向量AC的坐标为(-1,-2),
那么
向量与夹角的余弦值为
结论就出来了。
【总结】
解题的方法千千万,适合就好,不必拘泥与形式。在考场上关键还是快、准。
《中考数学压轴题全解析》P57页有相关的类型题目及方法介绍。
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