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2022贵港中考数学压轴题分析1:网格中求三角函数值

本题选自2022年贵港中考数学选择题第11题,难度不大,但是此类问题较为常见,经常出现在选择或者填空题中。

此类问题关键是确定直角三角形,利用锐角三角函数的定义进行求解。


【题目】

(2022·贵港)如图,在4×4网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是(  )

A.
B.
C.
D.


【答案】C

【分析】

观察图形发现△ABC并非直角三角形,必须构造直角三角形才行。

如图,延长AC与正方形网格的边线交于点D,连接BD,

即可得到△BCD为等腰直角三角形。

那么只需要求出AD与AB的长即可。

易得AB=5,AD=2√5。

那么cos∠BAC=AD/AB=2√5/5。

结论就出来了。

此类问题一般是直接找格点,观察图中的点,找到一个合适的即可。

【方法二】

当然,格点不好找的时候,与可以直接作垂线,如下图,过点C作CD⊥AB于D。

此时需要求出AD与AC才行。

由于CD为△ABC的高,因此求出△ABC的面积即可。

根据割补法,可以得到△ABC的面积为

S=3×4/2-1×3/2-1×2/2-1=5/2。

而AB=5,

则CD=2S/AB=1。

由于AC=√5,那么就可以得到AD=2。

所以cos∠BAC=AD/AC=2/√5=2√5/5。


【方法三】

如果有的同学学过高中的向量知识,直接可以用向量的坐标公式进行求解。

向量夹角的余弦值为

那只需要求出两个向量的坐标代入即可。

以点B为坐标原点,建立平面直角坐标系,

则B(0,0),A(4,3),C(3,1)。

此时可以得到向量AB的坐标为(-4,-3),

向量AC的坐标为(-1,-2),

那么

向量夹角的余弦值为


结论就出来了。


【总结】

解题的方法千千万,适合就好,不必拘泥与形式。在考场上关键还是快、准。

《中考数学压轴题全解析》P57页有相关的类型题目及方法介绍。

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