草根思考|源于教材例题的变式，以相似三角形一章为例
源于教材例题的变式
所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。
“相似三角形”一章中存在一些“基本图形”，应用广泛，形式多变，教材例题中也有所呈现，但常常“点到为止”，留白于学生。在教学中，如果以此为契机，总结规律，运用变式，可引发学生深度思考，成为很好的学习素材。
案例（1）
沪教版 九年级(上) 第25页
01
基础图形分析
产生了两组“会依会存”的相似三角形：
图中的等角关系如下：
02
问题变式探究
（1）延长BA、CD交于点E（如下图），此时图中有几组相似三角形？
（2）*四边形ABCD是什么特殊四边形？
答：四边形ABCD是圆内接四边形，又称“点A、B、C、D四点共圆”，如果继续运用圆中的角与圆幂定理等知识，相关问题会更清晰.（注：*表示有超出教材的知识）
案例（2）
沪教版 九年级(上) 第25页
沪教版 九年级(上) 第31页
01
基础图形分析
共边共角型
02
问题变式探究
∠A的平分线，交边PC、BC于点F、点E
（1）图中是否产生新的相似三角形？
答：产生两组新的相似三角形：
△ABF∽△ACE、△APE∽△ACF
关键：图中三组相似等相似比！
（2）图中是否产生新的特殊三角形？
答：产生等腰△CEF
案例（3）
沪教版 九年级(上) 第38页
沪教版 九年级(上) 第39页（第2题）
01
基础图形分析
上述两题的背景均是等腰三角形，都有一个角等于该等腰三角形的底角，不同的是这个“等角”所处的位置
注意到“练习24.5（4）”的第1题，其背景是直角三角形配斜边上的高，也可以视为两组“共边共角型”嵌套，补充一道类似问题供参考.
02
问题变式探究
如果与底角相等的角在等腰三角形形内…
已知，如图，AB=AC，∠AEF=∠C，
请问图中有几组相似三角形？
共有四组相似三角形
如果与底角相等的角在等腰三角形形外？
已知，如图，AB=AC，∠AEF=∠C，
请问图中有几组相似三角形？
（此问留给读者自己思考、摸索）
案例（4）
沪教版 九年级(上) 第32页
01
基础图形分析
如图所示：
△ABC经过了放缩、旋转运动形成了△ADE
△ABC∽△ADE→∠BAC=∠DAE
→∠DAB=∠EAC（AD:AB=AE:AC)
→△ABD∽△ACE
02
问题变式探究
当D、E、C三点共线或点E在BC上时，存在圆内接四边形，由此又会产生几组相似三角形（参考案例一），附一道经典试题，源于本题变式
案例（5）
沪教版 九年级(上) 第38-39页
01
基础图形分析
本例中的“议一议”意在引发学生思考“内接矩形”问题，的关键是：
（1）外围三角形的底和高；
（2）内接矩形的邻边比.
（具体解题过程，请参考书本例题解析）
02
问题变式探究
在原题条件下：
△ABC中，BC=60，BC上高AH=80
问题① 如果四边形DEFG是矩形，其邻边比为2:3，求DG的长
解：设矩形两邻边为2k、3k
若DG=2k，则2k:60=(80-3k):80
若DG=3k，则3k:60=(80-2k):80
（解方程即可）
问题② 在边BC上找点Q，使△DGQ是等腰直角三角形，求DG的长
△DGQ是内接等腰直角三角形
→内接邻边比为1:1或2:1的矩形
解：若DG是△DGQ的直角边（如左图）
设DG=k，则k:60=(80-k):80
若DG是△DGQ的斜边 （如右图）
设DG=2k，则2k:60=(80-k):80
（解方程即可）
问题③ 在边BC上找点Q，使△DGQ是等边三角形，求DG的长
△DGQ是内接等边三角形
→内接邻边比为2:√3的矩形
解：设DG=2k，则△DGQ的高为√3k
则2k:60=(80-√3k):80（如下图）
（解方程即可）
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