集合逻辑的探讨-1

集合逻辑的探讨

1、集合逻辑的由来

2、集合逻辑中的有限和无限

3、集合逻辑中的集合进阶

4、集合逻辑中的集合对应

5、集合逻辑中的集合交集

6、集合逻辑中的集合符号

7、集合逻辑的概念创造

一

集合逻辑的根底在概念逻辑中，是从概念逻辑中发展出来的一个分枝架构。

我在概念逻辑的探讨中，揭示了概念具有抽象统摄的功能和能动，即任何一个概念都具有抽象概括地统摄一切可以被它所统摄的对象的功能和统摄。例如，星球这个概念可以抽象统摄一切被称之为星球的对象，机器这个概念可以抽象统摄一切被称之为机器的对象，生物这个概念可以抽象统摄一切被称之为生物的对象。

概念所普遍具有的抽象统摄的功能和能动，这种抽象统摄实际地发生了一种概念的集合，集一切概念都在抽象统摄一切可以被它统摄的对象中，使得一切对象都在人类的概念意识运作中，处在了各种各样的集合关系中。一个对象既可以处在甲种集合关系中，又可以处在乙种集合关系中，还可以处在丙种集合关系中或丁种集合关系中。至于它此时此刻处在哪种集合关系中，则是由概念意识活动此时此刻处在怎样的概念抽象统摄中所决定的。一匹汗血马，究竟是处在动物世界的集合关系中，还是处在哺乳动物的集合关系中，抑或处在国家礼品的集合关系中，是由此时此刻的概念运作关系所决定的。

概念的运作和能动必然带来各种各样的集合关系，当种种集合关系发展到一定的程度，必然带来集合逻辑在人类概念创造活动中的生成和发展，以及越来越实际的，从简单到复杂，从低级到高级的概念抽象运作和反馈于实践创造的应用。

自莱布尼茨提出可以设定一种标准的语言公式，把人们提出的各种思想统摄地输入到这样的语言公式中运算，就可以得到一种绝对的真和假的处理结果时，这样的设想，内在地包含了一种集合逻辑的思考，即把人类的一切思想活动集合到一种标准公式或标准模型中进行逻辑的处理，得到逻辑处理的结果。电子计算机技术的发展，则使得莱布尼茨的设想得到了某种实现的可能和希望。计算机技术的运用，日益发展地把各种各样的对象转化为二进制的数码，在各种软件的集合逻辑中获得它们的逻辑必然的处理，如颜色的数码集合逻辑处理，图形的数码集合逻辑处理，声音的数码集合逻辑处理，以及各种各样的数码集合逻辑处理，特别是互联网搜索的数码集合逻辑处理，大数据的数码集合逻辑处理等等，越来越显现了计算机数码集合逻辑处理的重要意义，驱动着一个新的概念逻辑分枝的出现和发展。可以这样说，集合逻辑正在成为概念逻辑的一个新的重要架构和分枝，是逻辑学的一个新的重要发展和内容。

集合逻辑在概念逻辑中的隐含和越来越实际地显现，需要我们以思想的聚焦，进行揭示和探讨。

二

集合逻辑有两个基本类型：一是封闭的有限集合，封闭的有限集合的逻辑关系比较简单；二是开放的无限集合，开放的无限集合的逻辑关系则很不简单，需要极为深入的探讨和琢磨。

有限集合，如一个教室有40个座位，可以满坐40个学员；一辆客车有60个座位，可以满坐60个乘客等等。从集合的角度讲，有限集合的逻缉关系是：设有限集合框架为【A】，即这个教室或客车的有限集合位子占满数为A；设空缺数为V，实有数为B时，在有限集合【A】的框架下，实有数就是B = A或B = A-V。当B = A+时，这个有限集合就超出了【A】的有限集合框架。

这是有限集合的基本逻辑关系。有限集合的特点是，它是有限定框架的，是有它的有限框架的绝对值的。

无限集合则不然。无限集合是开放的，相对于有限集合是没有它的有限框架的，以及有限框架的绝对值的。例如，自然数、分数、奇数、偶数、素数等等都有自己的无限系列，在每一个数值后面都会出现有新的数值涌现；对于圆周率来说，它的数值系列是无限伸展涌現的，圆周率 = 3.141 5926··· 的后面的小数是一个无限伸展的系列；对于收敛级数来说也是这样，1 =1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/128··· 的后面是一个无限伸展的系列，对于2的开方来说，它平方根=1.414213562373 ···的后面亦是一个无限伸展的系列。这样的无限系列会越来越精细和精确，但永远不会有一个最后终止的绝对值。

无限集合在数学上带來了的基本逻辑关系是：1、整体无限和部分无限的平行和相同；2、只有无限伸展的精确值而没有最后终止的绝对值。

此外，无论宏观世界还是微观世界的观察和概念抽象，亦是无限伸展的。

无限的观察和概念抽象思考，在微观世界和宏观世界带来没有终止的边界和无限伸展的层次系列。尽管时有宏观有限，微观有限，时空有限等等的概念抽象和见解在不断出现，但这些概念抽象和见解总是苍白地挡不住无限的概念抽象和思想的穿越。人类大脑的概念思维思考总在追问，在我们所处的宇宙之外和再之外是什么？在基本粒子的深处的再深处是什么？在宇宙大爆炸之前和再之前是什么？等等。

无限集合的概念抽象在哲学家们的头脑中，产生了“恶无限”、“潜无限”，“实无限”，以及逻辑悖论等等的观念。

所谓恶无限，如，整体和局部在无限系列的展开中没有大小之分。举例来说，自然数包含了奇数和偶数，在这样的关系中，自然数是整体，奇数和偶数是部分。然而，在集合对应中，奇数和偶数的无限序列可以平行地一一对应自然数的无限序列。如自然数1、2、3、4、5、6、7、8 ···是一个无限的系列，奇数1、3、5、7、9、11、13 ···亦是一个无限的系列；偶数2、4、6、8、10、12、14 ···也是一个无限的系列。用奇数1、3、5、7、9、11、13··· 或偶数2、4、6、8、10、12、14··· 一一对应自然数1、2、3、4、5、6、7、8··· ，在彼此的无穷无尽的延伸中，它们是可以无限对应地伸展而没有大小之分的。在无限伸展的集合对应中，整体大于部分，部分小于整体是不存在的。由此在逻辑上出现了一种违反常识的恶无限。

又如，把一切都放在无穷无尽的序列伸展中思考时，比如，在微观世界，分子的深处有原子，原子的深处有质子、中子、电子，质子、中子；电子的深处有夸克，夸克的深处有多维卷曲的弦，弦的深处又有更为深处的东西，等等，始终没有一个可以最后终止的底部根基形态；在宏观世界，地球外有太阳系、太阳系外有银河系，银河系外有总星系，总星系外有宇宙之外，宇宙之外有外宇宙，等等，始终没有一个可以最终停止的扩展。思想不仅要问，这个世界究竟是个什么呀？无限深入的微观世界和无限扩展的宏观世界，其无限集合的逻辑使我们的整个概念抽象陷入了一种世界无以最终定形的恶无限中。

所谓潜无限，即在每一个概念抽象统摄都内含了潜无限。例如，无论自然数的概念抽象统摄，奇数的概念抽象统摄，偶数的概念抽象统摄，分数的概念抽象统摄，素数的概念抽象统摄，圆周率的概念抽象统摄，收敛级数的概念抽象统摄，都潜在着它们各自的无限系列，每一个数值后面都潜在着必将跟随出现的数值。又如，在人类技术和产品创造的概念抽象统摄中，创造是一个潜无限，不断会有新的技术和产品创造的生成和涌现，展现一种潜无限的魅力和存在。

所谓实无限是一种逻辑倒置。如把收敛级数1 =1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/64+1/128··· 倒过来， ···1/128+1/64++1/64+1/32+1/16+8/1+1/4+1/2=1，1就是这个收敛级数的实无限，即这个收敛级数集合的全体所在。

逻辑学家们设想在是否可以在无限集合的逻辑处理中，找到无限集合全体所在的实现方式，使各种各样的潜无限成为实无限。例如，莱布尼茨设想发明一种标准语言，使人类使用语言的潜无限，在一种标准公式的运算中，得到一种全体所在或可以统摄全体的真假判断的实无限。而计算机技术的发明和运用就是根据这种设想，把一切现在的和潜在的无限涌现的对象全部转化为二进制数码的数字流，纳入计算机的逻辑运算处理得到逻辑必然的处理和结果也就是说，在计算机背后的思想或逻辑原理实际上就是莱布尼茨的集合逻辑设想。正如美国学者马丁 戴维斯所说，“计算机从20世纪50年代的塞满整个房间的庞然大物，逐渐演变成今天轻巧而强大的能够完成各种任务的机器，在这整个过程中，其背后的逻辑始终保持如一。这些逻辑概念是几个世纪以来数位天才思想家一步步发展出来的。”

所谓逻辑悖论。如，哲学家克利特人艾皮米尼地斯说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。他们中间的一个诗人这么说。”这里就内含了一个集合逻辑的悖论，即这个诗人作为克里特人集合全体中的一员，他的话到底是真还是假的呢？如果为真，那么这个诗人的话就不能为真，因为他属于谎话者全体；如果为假，那么他的话亦不能为真，因为这将否定他所有的克利特人都说谎话，也就是说，在任何一种场合，他的话都不能为真。于是就出现了一种逻辑悖论，即集合逻辑的悖论。

哲学家罗素也提出了相同的理发师悖论，即“一个给所有不给自己理发的人理发的理发师”的逻辑悖论。罗素的悖论引起了集合论的逻辑危机，即集合者本身的概念抽象是否在集合全体中。逻辑学家们最终用了一个“类”的概念来“解决”罗素的悖论，即设定一种高于全体集合的概念进阶。逻辑学家们至今没有圆满地说明这里的缘故，他们不了解在概念逻辑中有一个集合进阶的基本架构，即集合进阶的逻辑架构。如，动物这个概念抽象是一切可以被称之为动物的对象的全体集合进阶，但动物这个概念抽象并不是这个全体集合中的一员，动物只是和只能是这个全体集合进阶的概念抽象。又如，在···1/128+1/64++1/64+1/32+1/16+8/1+1/4+1/2=1中，1是这个收敛级数的无限集合的全体所在，但1并不是这个无限集合的一员，而是这个无限集合的的集合进阶。罗素提出集合逻辑悖论所造就的实际上是一个乌龙危机，其缘由在于，罗素和许多逻辑学家并没有深入了解和懂得人类头脑中的概念逻辑奥秘，以及概念逻辑中的集合进阶原理，即任何一个集合进阶的概念抽象都是高于这个集合的，它是这个集合全体的进阶，不是这个集合全体中的一员。而要把握这点，当代逻辑学需要深入到人类的概念意识方式生成的文化进化的历史进程，以及概念逻辑构造的基本原理。

关于无限，我们更需要深入了解和把握的是：

一切无限都是有限之态的无限，这点极为重要。例如，自然数的无限系列是以自然数为有限之态的无限，奇数的无限系列是以奇数为有限之态的无限，偶数的无限系列是以偶数为有限之态的无限，分子的无限系列是以分子为有限之态的无限，动物的无限系列是以动物为有限之态的无限，等等。人类头脑中的一切无限之态的概念抽象都是有限之态的无限。离开了有限之态的无限则是一片空荒的虚无，是没有任何存在的价值的。

无限是有限之态的无限的原理，一方面，决定了人类的逻辑创造可以积极地通过无限的有限之态，创立各种有效的逻辑处理工具，如计算机的应用在本质上是建立在无限的有限之态原理上的，是从有限之态的规定上，建立种种有限之态无限的逻辑处理工具。另一方面，也决定了不能设想一种不受有限之态规定的无限，而企图获得一种纯粹的全无限，即没有任何有限之态规定的逻辑处理工具，用这样的逻辑处理工具决定一切，这样的逻辑处理工具是根本不存在的，是违背人类概念逻辑生成和运动的原理的。