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已知∠BDC=15°,∠ACD=30°,求∠CAD的度数

如图,在平行四边形ABCD中,∠BDC=15°,∠ACD=30°,求∠CAD的度数。这题怎么做呢?

一开始啊年只考虑了角度,由三角形的内角和为180°,可得∠CED=135°。

∠AEB是∠CED的对顶角,对顶角相等,∠AEB=135°。

∠AED和∠BEC都是∠CED的邻补角,所以∠AED=∠BEC=45°。

而根据平行四边形的性质,两组对边平行 ,可得AB∥CD。

AB∥CD,两直线平行,内错角相等,∠BAC=∠ACD=30°,∠ABD=∠BDC=15°。

现在我们已经求出了这么多角的度数,但是根据现有的条件还是没有办法求出∠CAD。

我们不妨考虑一下线段之间的关系。

平行四边形的对角线是互相平分的,AE=CE,DE=BE。

而∠ACD=30°,30°是一个特殊角,我们能不能去构造一个直角三角形呢?

过点A做CD的垂线。

如图AF⊥CD,三角形ACF是30°、60°直角三角形。

根据30°、60°直角三角形的三边关系,可得AF=AC/2,

而AE=CE=AC/2,所以AF=AE。

而∠EAF=60°,我们是不是可以将EF连接起来,得到一个等边三角形。

三角形AEF是等边三角形,EF= AF=AE,∠AEF=60°。

而∠AED=45°,所以∠DEF=15°。

∠EDF=15°,所以∠DEF=∠EDF,三角形DEF是等腰三角形, DF=EF。

而EF=AF,等量代换可得DF=AF。

而∠AFD=90°,所以三角形ADF是等腰直角三角形,∠DAF=45°。

∠DAC=∠DAF+∠FAC=45°+60°=105°。

以上就是这道题的解法,除此之外你还有其他方法吗?可以在评论区留言~

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