如图,在矩形ABCD中,∠1=∠2,∠3=∠4,DE=2,DF=3,求BD长。这题怎么做呢?
∠1=∠2,∠3=∠4,也就是说BE、BF都是角平分线,角平分线有这样一个性质,角平分线上的点到角两边的距离相等。
我们是不是可以分别过点E和点F作BD的垂线?
但是作出这两条辅助线对求BD的长度并没有太大的帮助,那么应该怎么做呢?
我们可以延长BA以及BC,使得BM=BD,BN=BD,接着再连接ME、NF。
如上图,由边角边证全等可得
三角形BME和三角形BDE全等(BM=BD,∠1=∠2,BE=BE),
三角形BNF和三角形BDF全等(BN=BD,∠3=∠4,BF=BF)。
三角形BME和三角形BDE全等,所以ME=DE=2,∠M=∠ADB。
三角形BNF和三角形BDF全等,所以NF=DF=3,∠N=∠BDC。
而由四边形ABCD是矩形,可得∠ADB ∠BDC=90°,
而由等量代换可得∠M ∠BDC=90°。
在直角三角形AME中,∠M ∠AEM=90°,等量代换可得∠AEM=∠BDC,
而∠N=∠BDC,所以∠N=∠AEM。
在三角形AEM和三角形CNF中,
∠MAE=∠FCN=90°,∠AEM=∠N,
所以三角形AEM和三角形CNF相似。
三角形AEM和三角形CNF相似,它们的对应边成比例,
MA/FC=AE/CN=ME/FN,
而ME=2,FN=3,
所以MA/FC=AE/CN=2/3,
不妨假设MA=2x,AE=2y,则FC=3x,CN=3y,
由勾股定理可得MA² AE²=ME²,也就是4x² 4y²=4,即x² y²=1。
而由BM=BD,BN=BD可得BM=BN,
BM=BA AM=CF FD AM=5x 3,
BN=BC CN=AE ED CN=5y 2,
所以5x 3=5y 2。
由x² y²=1,5x 3=5y 2,解得x=3/5,y=4/5。
BD=BM=5x 3=6。
以上就是这道题的解法。除此之外,你还有其他方法吗?欢迎在评论区留言~
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