如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠CBD=43°,求∠ACD的度数。这道题怎么做呢?
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图中的四边形ABCD并不是一个特殊的四边形,已知∠CBD=43°,要求∠ACD的度数,似乎无从下手。其实题目中AB=AC=AD这个条件非常关键,同学们看到这个条件想到了什么呢?线段AB、AC以及AD是相等的,并且这三条相等的线段还共端点。我们是不是可以以点A为圆心,AB为半径去构造辅助圆呢?
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如图所示,由于AB=AC=AD,点B、点C、点D三点共圆。
添加辅助圆之后,有用的条件增加了。在圆中,同弧所对的圆周角是相等的。我们可以延长AC,AC的延长线和圆A交于点E,接着再连接DE。
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如图,根据同弧所对的圆周角是相等的,可得∠CED=∠CBD=43°。
而∠CDE是直径CE所对的圆周角,直径所对的圆周角为90°,所以∠CDE=90°。
由三角形内角和为180°,可得∠ECD=180°-∠CED-∠CDE=180°-43°-90°=47°。
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