【中考数学】一元二次方程的实际应用”经典题型剖析！
“一元二次方程”作为初中数学的重、难点，也是考试考查的重点对象。
很多同学会发现，“一元二次方程”的计算并不难，然而一旦它与实际问题结合起来，就无处下手，找不到等量关系，列不出方程式。
今天林老师就来和同学们一起探讨一下“一元二次方程的实际应用”问题。
对于实际应用题，最关键的一点在于认真阅读题目，分析题意，并能分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答。
【例题】某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低 1 元，那么衬衫平均每天多售出 2 件，商场若要平均每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 【解析】假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x ）元，现每天销售衬衫为（20+2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。 解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 （40- x）（20+2x）=1200 解得X 1=10，X 2=20。 因尽快减少库存，故取x =20 答：每件应降价20元。
【例题】某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元。求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）？ 【解析】假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1+ x ）元，支取1000元后，还剩[2000（1+ x）－1000]元。将所剩[2000（1+ x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元。根据本息和=本金×（1+利率）等量关系可列出方程。 解：设这种存款方式的年利率为x。 根据题意得，[2000（1+ x）－1000]（1+ x）=1320 整理可得：2000x2+3000x－320=0 解得：x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10% 答：这种存款方式的年利率为10%。
【例题 】如图1-1所示，某小区规划在一个“长为40m，宽为26m”的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144m2，则道路的宽是多少米？ 【解析】（ 1 ）设路的宽为 x m ，那么道路所在的面积（ 40x+26x × 2 － 2x 2 ） m 2 。那么六块草坪的面积为 [40 × 26 －（ 40x +26x × 2 － 2x 2 ） ]m 2 ，根据题意，得 40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 （2）将图1-1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移到图1-2的位置，若设宽为xm，则草坪的总面积为（40-2x）（26－x）m2。所列方程为（40-2x）（26－x）=144×6 解法1：设道路的宽为xm，则根据题意，得40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 整理，得x2－46x +88=0 解得x1=44（舍去），x 2=2 解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40-2x）（26－x）=144×6 解得x1=44（舍去），x 2=2 答：道路的宽是2米。
②勾股定理问题 【解题思路】勾股定理
【例题】如图2- 1，两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北、正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm。几分钟后，两只蚂蚁相距20cm？ 【解析】假设 t 分钟后相距 20cm ，那么甲所爬的距离为 6tcm ，乙所爬的距离为 8tcm ，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距 20cm 正好是两直角边所对的斜边。此题可用勾股定理作等量关系列方程。 解：设t分钟后，相距20cm。由题意得：（6t）2+（8t）2=202 整理，得100t2=400 解得t1=2，t2=－2（不合题意，舍去） 答：2分钟后，两只蚂蚁相距20cm。
【例题】某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？ 【解析】本题的关键是应用形如a（1+x）2=b形式的问题，但要注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷数量30万册+2月份印刷数量30（1+x）+3月份印刷数量30（1+x）2=150万册。 解：设2、3月份平均增长率为x ，则有： 30+30（1+x）+30（1+x）2=150 解得x1=3.56（舍去），x2=0.56=56% 答：2、3月份平均每月的增长率是56%。
【例题】如图3-1所示，在△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使△PQB的面积等于8cm2？ 【解析】设经过x秒钟，点P在AB上移动后所剩的距离PB为（6－x）cm，点Q在BC上移动的距离 BQ为2x cm。因此，可根据三角形面积公式列方程来求解。 解：设经过x秒钟，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8 cm2 根据题意，得 （6－x ）×2x×1/2=8 整理得：x2－6x+8=0 解得x1=2，x2=4 经过2秒钟，点P在离A点1×2=2（cm）处；点Q在离B点2×2=4（cm）处。经过4秒钟，点P在离A点1x4=4（cm）处，点Q在离B点2×4=8（cm）处，所以它们都符合要求。 答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2秒钟或4秒钟，△PQB的面积等于8cm2。
【例题】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数？ 【解析】题中等量关系比较明显，所以两位数与原来的两位数的乘积是736，正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。两位数=（十位数字）×10+（个位数字）。 解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x ）。 根据题意，得[10x +（5－x ）][10（5－x）+ x ]=736 整理，得x2－5x +6=0 解得x1=2，x 2=3。 当x=2时，5－x =3符合题意，原来的两位数是23； 当x=3时， 5－x=2符合题意，原来的两位数是32。 答：原来的两位数是23或32。 注意：用一元二次方程解决实际问题时，一定要检验所得的解是否符合实际意义，不合题意的解一定要舍去。
列方程解应用题实质是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决。
列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型。同学们要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等。
此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。 END
解题思路
对于实际应用题，最关键的一点在于认真阅读题目，分析题意，并能分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答。
经典题型
题型一：利润问题
【常用公式】【例题】某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低 1 元，那么衬衫平均每天多售出 2 件，商场若要平均每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 【解析】假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x ）元，现每天销售衬衫为（20+2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。 解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 （40- x）（20+2x）=1200 解得X 1=10，X 2=20。 因尽快减少库存，故取x =20 答：每件应降价20元。
题型二：利息问题
【常用公式】【例题】某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元。求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）？ 【解析】假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1+ x ）元，支取1000元后，还剩[2000（1+ x）－1000]元。将所剩[2000（1+ x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元。根据本息和=本金×（1+利率）等量关系可列出方程。 解：设这种存款方式的年利率为x。 根据题意得，[2000（1+ x）－1000]（1+ x）=1320 整理可得：2000x2+3000x－320=0 解得：x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10% 答：这种存款方式的年利率为10%。
题型三：与几何图形的面积问题
①几何图形的面积问题 【等量关系】面积公式是此类问题的等量关系。【例题 】如图1-1所示，某小区规划在一个“长为40m，宽为26m”的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144m2，则道路的宽是多少米？ 【解析】（ 1 ）设路的宽为 x m ，那么道路所在的面积（ 40x+26x × 2 － 2x 2 ） m 2 。那么六块草坪的面积为 [40 × 26 －（ 40x +26x × 2 － 2x 2 ） ]m 2 ，根据题意，得 40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 （2）将图1-1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移到图1-2的位置，若设宽为xm，则草坪的总面积为（40-2x）（26－x）m2。所列方程为（40-2x）（26－x）=144×6 解法1：设道路的宽为xm，则根据题意，得40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 整理，得x2－46x +88=0 解得x1=44（舍去），x 2=2 解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40-2x）（26－x）=144×6 解得x1=44（舍去），x 2=2 答：道路的宽是2米。
②勾股定理问题 【解题思路】勾股定理
【例题】如图2- 1，两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北、正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm。几分钟后，两只蚂蚁相距20cm？ 【解析】假设 t 分钟后相距 20cm ，那么甲所爬的距离为 6tcm ，乙所爬的距离为 8tcm ，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距 20cm 正好是两直角边所对的斜边。此题可用勾股定理作等量关系列方程。 解：设t分钟后，相距20cm。由题意得：（6t）2+（8t）2=202 整理，得100t2=400 解得t1=2，t2=－2（不合题意，舍去） 答：2分钟后，两只蚂蚁相距20cm。
题型四：平均增长（降低）率问题
【解题思路】此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。常见的等量关系是： a （ 1 ± x ） 2 =b 。其中 b 为增长（或降低）后的数量， a 为增长（或降低）前的基数， x 为增长率（降低率）。【例题】某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？ 【解析】本题的关键是应用形如a（1+x）2=b形式的问题，但要注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷数量30万册+2月份印刷数量30（1+x）+3月份印刷数量30（1+x）2=150万册。 解：设2、3月份平均增长率为x ，则有： 30+30（1+x）+30（1+x）2=150 解得x1=3.56（舍去），x2=0.56=56% 答：2、3月份平均每月的增长率是56%。
题型五：动点问题
【解题思路】此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等）列出方程。【例题】如图3-1所示，在△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使△PQB的面积等于8cm2？ 【解析】设经过x秒钟，点P在AB上移动后所剩的距离PB为（6－x）cm，点Q在BC上移动的距离 BQ为2x cm。因此，可根据三角形面积公式列方程来求解。 解：设经过x秒钟，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8 cm2 根据题意，得 （6－x ）×2x×1/2=8 整理得：x2－6x+8=0 解得x1=2，x2=4 经过2秒钟，点P在离A点1×2=2（cm）处；点Q在离B点2×2=4（cm）处。经过4秒钟，点P在离A点1x4=4（cm）处，点Q在离B点2×4=8（cm）处，所以它们都符合要求。 答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2秒钟或4秒钟，△PQB的面积等于8cm2。
题型六：数字问题
【解题思路】根据数字问题列方程，只要根据题目中给出的相等关系列出方程即可，但要注意两位数或三位数的表示方式。 两位数=（十位数字）×10+（个位数字） 三位数=（百位数字）×100+（十位数字）×10+（个位数字）【例题】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数？ 【解析】题中等量关系比较明显，所以两位数与原来的两位数的乘积是736，正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。两位数=（十位数字）×10+（个位数字）。 解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x ）。 根据题意，得[10x +（5－x ）][10（5－x）+ x ]=736 整理，得x2－5x +6=0 解得x1=2，x 2=3。 当x=2时，5－x =3符合题意，原来的两位数是23； 当x=3时， 5－x=2符合题意，原来的两位数是32。 答：原来的两位数是23或32。 注意：用一元二次方程解决实际问题时，一定要检验所得的解是否符合实际意义，不合题意的解一定要舍去。
答题技巧
列方程解应用题实质是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决。
列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型。同学们要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等。
此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。 END
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