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「初中数学」可拆解的图形，可分析的辅助线


随着“全等三角形”、“等腰三角形”等的学习，学生开始正式迈入几何证明的殿堂，如何针对学生进行“几何证明”的学法指导是我们近期要思考的问题。对于比较简单的问题宜采用把握定理 设问推进 学会分析”的策略，而对于较复杂的问题宜从基本图形、基本辅助线入手进行分析

可拆解的图形、可分析的辅助线

例1如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于P，AB=5，BP=2，AC=9.求证：∠ABP=2∠C

分析

从AP入手分析，AP即是垂线（AP⊥BP）也是角平分线（AP平分∠BAC），如果在一个三角形内的某条线段即是一边上的高又是该边所对角的角平分线，即可判断这个三角形是等腰三角形，这条线段也是该边的中线（如下图）

注：（1）打边框的命题属于'定理'范畴，可以直接使用；（2）其实“垂径定理及其推论”的6条表述的就是这个基本模型

然而此时AP并不在某三角形内呀？于是想到“补形”，延长BP交AC于点E，构造等腰△ABE

标注条件后，在图形的下半部分，出现了另一个等腰△BEC，根据等腰三角形的倍角模型（如下图）不难得到∠AEB=2∠C，继而可证∠ABP=2∠C

① 等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍

（AB=AC→∠α=2∠B）

② 三角形的外角等于与之不相邻内角的两倍，则这个三角形是等腰三角形

（∠α=2∠B→AB=AC）

复盘此题，可认为是两个等腰三角形模型的结合

阶段小结

1.什么是'基本图形分析法'

基本图形分析法就是在几何学科中，根据问题的条件和结论，分析并找到组成这个几何问题的一个或若干个基本图形，再应用这些基本图形的性质，使问题得到解决的几何分析方法。

和点、线段、弧甚至三角形（这些可称之为“基本元”）不同，在几何问题的分析中，组成一个几何问题的图形中最简单、最重要、最基本的，但又是具有特定性质的图形称为基本图形。在对数以千计的几何问题进行图形剖析后，就会发现几何学科中的基本图形的数量是30多个，但就是这30多个基本图形的无限组合演绎出了一部能显现无穷变化的平面几何学。

2.感悟

基本图形分析法的核心是'应用条件'（前文介绍的两个“基本图形”箭头左侧的条件），因为图形本身可能“千变万化”甚至可能“残缺”，把握“应用条件”结合图形进行分析是关键。

从纷繁复杂的几何问题中引导学生自己总结出一些“反复出现”、“应用广泛”的基本图形，并在实践中积极运用基本图形分析法，培养学生复杂的图形中分离出基本图形的能力

3

为什么要“添加辅助线”

① 补全“基本图形”（如例1）

② 应用几何概念的定义添加辅助线的方法

（例：给出等腰三角形及底边上的中点宜连接顶点形成“三线合一”线）；

③ 将多边形问题，尤其是梯形问题转化为三角形问题来讨论的添加辅助线的方法；

④ 将线段或角改变位置的添辅助线的方法

添加辅助线的分析可以从不同角度切入，当不同角度切入皆指向同一条辅助线时，这条辅助线大概率就是正确的；

学生对于第4点的辅助线添加策略尤为困惑，在此宜根据教学进度总结出一些辅助线添加的基本分析方法，笔者总结如下：

注：其中从运动的角度分析，宜抓住关键点（旋转中心）与线（对称轴）

例2

如图，已知：AD∥BC，EA、EB分别平分∠DAB、∠CBA，点E在CD上．

说明AB=AD+BC的理由

分析

从“角平分线”与“截长'入手

以“截长”为改变位置的方向，抓住“角平分线”所在直线为对称轴进行翻折为手段，构造△ADE≌△AFE，继而证明△BFE≌△BEC；其中证明∠EFB=∠C是关键，可借鉴“几何证明学法指导（1）”中步步设问“平行条件如何使用？”进行分析。

从“补形”与“补短'入手

观察角度（1）

两直线平行、同旁内角角平分线互相垂直

根据“三线合一”基本图形，延长AE、BC交于点F，'补形'等腰△ABF

观察角度（2）

根据'平行'+“角平分线”的应用条件，补全等腰△ABE

补全等腰△ABE后，继而证明△ADE≌△ECF即可（证明较易，不再叙述）

回到当下，笔者认为就本校学生的情况及进度而言现阶段应掌握五大基本图形+三大添加辅助线的策略

证“等角”基本图形

“等腰三角形”基本图形

等腰三角形倍角模型

① 等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍

（AB=AC→∠α=2∠B）

② 三角形的外角等于与之不相邻内角的两倍，则这个三角形是等腰三角形

（∠α=2∠B→AB=AC）

等腰三角形+平行+角平分线

等腰三角形三线合一模型

三大辅助线策略

（1）中线加倍法

（2）角平分线翻折法

（3）线段和差，截长补短

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