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与中点有关的辅助线

数学好的人讲道理,说话有依据,做事有逻辑;

数学好的人讲科学,不盲从迷信,重客观事实;

数学好的人会思考,不人云亦云,有独立思想;

数学好的人守规则,不任性妄为,循章法办事;

数学好的人有智慧,察本源真相,顺自然规律;

数学好的人会审美,析万物之理,观天地之妙;

数学好的人善应变,能融会贯通,可应机行事。

——来源于网络

与中点有关的辅助线常见的有两种:

1、构造三角形的中位线

2、倍长带中点的线段,构造SAS的三角形全等

试题,已知:在△AOB与△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.


(1)如图1,点C、D分别在边OA、OB上,连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM,则线段AD与OM之间的数量关系是______位置关系是______

(2)如图2,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)如图3,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时,点C落在OB上,点M为线段BC的中点.请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明.

法一:构造三角形的中位线

延长BO到点P,使得PO=BO,连接CP

法二:构造三角形全等(SAS)

延长OM到点P,使得PM=OM,连接BP

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