几何模型 | 与圆有关的最值问题-瓜豆模型
在辅助圆问题中，求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．
我们继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．
运动轨迹-圆【例1】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么样的呢？
【解析】可以通过观察动图可知点Q的轨迹是一个圆，而此圆与圆O有什么关系呢？
因为Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，QM是三角形APQ的中位线，半径MQ是OP一半，则M点即为Q点轨迹圆圆心。任意时刻，均有QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆，确定其圆心与半径，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO，QM=1/2PQ．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
【例2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【解析】将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，旋转不会改变图形的大小和形状，所以Q点运动轨迹与P点轨迹是一样的，都是圆．然后来确定该圆心与半径．
易得：△APO≌△AQM．
所以圆心就是点O绕点A逆时针旋转90°得到的点M；
半径等于圆O的半径
【例3】如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【解析】方法同例2，将△APQ绕点A逆时针旋转90°，且将比例缩小，放缩前后比为2：1.
则△APO∽△AQM，且相似比为2．
所以圆心就是点AO绕点A逆时针旋转90°且取原长的一半得到的点M；
半径等于圆O的半径的一半
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
【结论】
（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【练习1】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【解析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：
∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；
AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
△APO≌△AQM，即可确定圆M位置和大小
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
【练习2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？
【解析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q点轨迹是个圆．
连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．
【思考】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
运动轨迹-线段【例4】如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
【解析】 分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
所以：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
【例5】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
【解析】当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形
【模型总结】
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
【2020重庆八中周考】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________；点F到点A的最短距离是________。
【解析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．
F点运动路径长与P点相同，所以F点运动轨迹也是线段，取两个特殊点确定出轨迹易得AF最小为：3倍根号3
运动轨迹-其它【例题】如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．
【解析】固定AB不变，AC=2，则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，则D点轨迹是以点M为圆心、根号2为半径的圆
考虑到AP=2AD，故P点轨迹是以N为圆心，2倍根号2为半径的圆，即可求出PB的取值范围．
【总结】掌握“瓜豆原理”的关键，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性。
根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹圆，从而求出动点轨迹圆心和半径。而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹也相应的会是其他图形．
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