如图,在三角形ABC中,AB<AC<BC,点D在BC上,点E在BA的延长线上,且BD=BE=AC,三角形BDE的外接圆与三角形ABC的外接圆交于点F,
求证:BF=AF+CF
分析:这道题可以说是有点难了。根据要证的结论,通常可以采取把AF延长CF的长度,然后判断三角形全等来得证。
如下图,延长AF至点G,使得FG=FC,连接GC、FD。
观察图形,如果能够证明三角形BFD≌三角形AGC,则可得到所要证的结论。
已经有∠FBD=∠GAC(同一个圆中,圆弧FC所对应的圆周角),
有AC=BD(已知条件),
如果能够再证明两个角相等就行,
观察两个等腰三角形BED和FGC,它们的顶角∠EBD=∠GFC(圆的内接四边形BAFC的一个外角等于内对角),所以两个等腰三角形的底角也相等,则有∠BDE=∠FCG,
因为∠EDF=∠EBF=∠ACF,
所以∠BDF=∠ACG,
从而△BFD≌△AGC,即得BF=AG=AF+CF。
小结:此题的难点在于图形有两个圆之后令人眼花缭乱。准确利用“截长补短”的思路,以及冷静分析圆内接四边形的性质、圆周角的判定,证明不算太难。
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