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压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

圆中的位置关系问题，往往涉及的是 点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系 。 只要能够顺利完成下图中的表格，即 找到距离与半径间的数量关系 ，可梳理出圆与点、直线和圆直径的位置关系。
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压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

与“圆相关的位置关系”问题可以采取下图的路径进行解决。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

与 “位置关系” 如影随形的往往就是 “动点” 。处理动点(动圆心)的关键在于 “化动为静” ，即根据题目要求画出运动过程中的 静态瞬间 ， 关注特殊位置 .对于每个特殊位置的研究，重在思考什么在边，什么不变.以一般经验而论， 不变的往往是特殊图形或特殊图形关系，变的是某些线段和差关系 . 压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

本题的背景是等腰三角形+动圆，并作了∠B=∠ODP，由于圆心O的不断运动，因此点E和点P的相对位置也会发生变化。具体的变化趋势如下图的动画演示：

通过视频演示可以发现，本题中的关键位置有三种：即P与C重合，P与E重合以及P与A重合。

首先先分析三角形中相关角的三角比以及图中现有的等角和等边。通过过点A向BC作垂线以及过点C向AB作垂线，可以求出∠BAC和∠ABC的三角比。通过进一步分析图中的现有背景条件，可以得到AP=DP。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

继而继续分析三种位置所对应的x的取值范围：

在解题的时候充分利用∠A和∠B的锐角三角比，结合垂径定理进行辅助线的添加，通过解三角形的形式求出相应的线段长度。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

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压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

（1）本题的第一问根据上述分析可以得到DP=AC=5；
压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系 （2）本题的第二问涉及到 分类讨论 ，即点E在线段DP或其延长线上两种情况：

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

当E在线段DP上时 ，此时 AP-EP的值恰好为DE ，而DE的长可以用含x的代数式表示； 当E在DP的延长线上时 ，此时AP-EP的值无法直接表示，因此借助“y=AP-EP以及DE=DP+EP”这两组等式，化简得到 y=2AP-DE ， 用含x的代数式表示AP ，即可得到两者间的函数关系。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

(3)涉及到了圆与圆的位置关系。此时主要要用含x的代数式表示圆C的半径以及圆心距OP的长度。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

如图，此时根据DO⊥DP，在Rt△DOP中，可以用含x的代数式表示DP和OP的长度，通过DP=AP，可以结合先前用含x的代数式表示AP的范围，联立求得x的值。然后根据CP和BO的和与差，与OP的长度进行比较，从而确定两圆的位置关系。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

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本题的背景同例题一样，还是腰长为5，底边为6的等腰三角形。通过分析求出∠B和∠A的三角比，借助 垂径定理添加辅助线 ，继而表示相关线段。
(1 )建立BO和CD间的函数关系式. 过点O作OM的垂线，解△BOM，即可得到BD的长度。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

(2) 考察了直线与圆的位置关系. 圆O与边AC只有一个交点存在以下两种情况：①圆O恰好与边AC相切；②圆O与边AC恰好只有一个交点(此时圆O经过点A的临界位置).

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

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(3) 考察了相似三角形的存在性问题. 由于△ABC是等腰三角形，且以C为底角，则△EDC也是以C为底角的等腰三角形，从而进行分类讨论。通过发现与目标△ABC相等的角，借助三角比和解直角三角形求出x的值。此时 可以隐去圆 ，就图中的边角间的数量关系开展探索。

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

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压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

模型链接：特殊等腰三角形中的底角或顶角的三角比
压轴题“一题精讲”(三)：动圆中的位置关系

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