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压轴题“一题精讲”(三):动圆中的位置关系

圆中的位置关系问题,往往涉及的是 点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系 。 只要能够顺利完成下图中的表格,即 找到距离与半径间的数量关系 ,可梳理出圆与点、直线和圆直径的位置关系。
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与“圆相关的位置关系”问题可以采取下图的路径进行解决。

与 “位置关系” 如影随形的往往就是 “动点” 。处理动点(动圆心)的关键在于 “化动为静” ,即根据题目要求画出运动过程中的 静态瞬间 , 关注特殊位置 .对于每个特殊位置的研究,重在思考什么在边,什么不变.以一般经验而论, 不变的往往是特殊图形或特殊图形关系,变的是某些线段和差关系 .

本题的背景是等腰三角形+动圆,并作了∠B=∠ODP,由于圆心O的不断运动,因此点E和点P的相对位置也会发生变化。具体的变化趋势如下图的动画演示:

通过视频演示可以发现,本题中的关键位置有三种:即P与C重合,P与E重合以及P与A重合。

首先先分析三角形中相关角的三角比以及图中现有的等角和等边。通过过点A向BC作垂线以及过点C向AB作垂线,可以求出∠BAC和∠ABC的三角比。通过进一步分析图中的现有背景条件,可以得到AP=DP。

继而继续分析三种位置所对应的x的取值范围:

在解题的时候充分利用∠A和∠B的锐角三角比,结合垂径定理进行辅助线的添加,通过解三角形的形式求出相应的线段长度。

(1)本题的第一问根据上述分析可以得到DP=AC=5;

(2)本题的第二问涉及到 分类讨论 ,即点E在线段DP或其延长线上两种情况:

当E在线段DP上时 ,此时 AP-EP的值恰好为DE ,而DE的长可以用含x的代数式表示; 当E在DP的延长线上时 ,此时AP-EP的值无法直接表示,因此借助“y=AP-EP以及DE=DP+EP”这两组等式,化简得到 y=2AP-DE , 用含x的代数式表示AP ,即可得到两者间的函数关系。

(3)涉及到了圆与圆的位置关系。此时主要要用含x的代数式表示圆C的半径以及圆心距OP的长度。

如图,此时根据DO⊥DP,在Rt△DOP中,可以用含x的代数式表示DP和OP的长度,通过DP=AP,可以结合先前用含x的代数式表示AP的范围,联立求得x的值。然后根据CP和BO的和与差,与OP的长度进行比较,从而确定两圆的位置关系。

本题的背景同例题一样,还是腰长为5,底边为6的等腰三角形。通过分析求出∠B和∠A的三角比,借助 垂径定理添加辅助线 ,继而表示相关线段。
(1 )建立BO和CD间的函数关系式. 过点O作OM的垂线,解△BOM,即可得到BD的长度。

(2) 考察了直线与圆的位置关系. 圆O与边AC只有一个交点存在以下两种情况:①圆O恰好与边AC相切;②圆O与边AC恰好只有一个交点(此时圆O经过点A的临界位置).

(3) 考察了相似三角形的存在性问题. 由于△ABC是等腰三角形,且以C为底角,则△EDC也是以C为底角的等腰三角形,从而进行分类讨论。通过发现与目标△ABC相等的角,借助三角比和解直角三角形求出x的值。此时 可以隐去圆 ,就图中的边角间的数量关系开展探索。

模型链接:特殊等腰三角形中的底角或顶角的三角比

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