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数学史上最重要的事件之一——求解三次方程，复数的黎明

多项式方程自古以来就一直被研究。今天，它仍然是现代代数的重要组成部分。巴比伦人知道如何解二次方程，也就是形式为ax^2+ bx + c = 0的方程。2000多年后，波斯数学家奥马尔·海亚姆首次尝试解三次方程。三次方程的形式是ax^3+ bx^2+ cx + d = 0。
海亚姆是一位杰出的数学家，他对科学和数学做出了很大的贡献，他计算了一年有365.24219858156天。相比之下，今天的计算结果是一年有365.242190天。 海亚姆找到了三次方程的几何方法。通过计算二次曲线，他能够求出这些方程的正解，但这些解都是几何的，海亚姆还想找到三次方程的代数解。 文艺复兴时期的欧洲 大约400年后，才有人发现三次方程的代数公式。在15世纪，数学的中心又回到了欧洲，那时已经出现了阿拉伯数字和一些代数技术。 在早期的欧洲，人们更喜欢用罗马数字来计算，但是阿拉伯数字的优势很快就显现出来了，如LXX+XXX = C用阿拉伯数字表示为：70 + 30 = 100。 然而，当时的教会坚持使用罗马数字，在一段黑暗的历史时期，阿拉伯数字在意大利实际上是被禁止的。一开始，只有外国推销员才会使用这种能在几秒钟内计算出奖金和利息的“黑魔法”。 最终，阿拉伯数字取得了胜利。在斐波那契数列将这种阿拉伯数字引入欧洲的几百年后，数学界终于成熟到可以在代数上处理三次方程了。 回顾一下当时的数学家是如何处理方程的。因为当时的数学家不知道负数，所以他们总是把系数写成正数。因此，他们把多项式方程分成若干类。例如，二次方程ax²+ bx + c = 0有三个，即：
  • ax^2 + bx = c，
  • ax^2 = bx +c，
  • ax^2 + c = bx，
其中a，b，c是正数。 事实上，当时的欧洲人也不知道数字0，所以对于“缺乏”某些 项 的方程，必须遵循特殊的规则。每个类都有自己的公式。 三次方程当然也是如此，据说海亚姆考虑了14种不同类型的三次方程，它们都有不同的几何方法。 求解三次方程的热潮 第一个得出三次方程公式的人是西庇安·德尔费罗，他发现了x^3+ bx + c = 0的三次方程的解的公式，其中b, c>0。 如果德尔费罗在今天发现了这个公式，他会立即发表它，但在当时情况就大不相同了。因为在文艺复兴时期，申请大学教授职位的候选人要相互提问，解决问题多的人就能获得职位（当然，候选人要会解自己提出的问题）。在一些大学，甚至 有 可以挑战现任教授的职位。 因此，毫不奇怪，如果你发现了一个新的公式，你会把它作为一个秘密，然后在这样的决斗中用作数学 核武器 ，从而确保自己得到一份工作。 因此，德尔费罗从未发表过他的发现。但在他去世之前，他把自己的秘密告诉了他的学生。 复数的黎明 现在，我们知道这些方程的解是x轴和相应多项式的图形的交点。卡尔达诺发现了一个公式，即三次方程x^3- ax - b = 0的正解，公式如下：

其中a和b是正数。 考虑方程x^3- 15x - 4 = 0。如果我们使用卡尔达诺公式，就会得到有趣的结果：

在这个表达式中，我们看到了一些负数的平方根。当时，他们不 知道 如何解释。卡尔达诺知道这个 表达式 应该给出正解；在这个例子中，他知道这个解应该是4。那么他公式中出现的 负号怎么解释呢？ 邦贝利得出：

和

然后得到x = 4（根号项被抵消）。 当时的数学家们很快意识到，如果我们把这些“负数的平方根”当作实数来使用，那么就可以使用卡达诺公式得出三次和四次方程的解。 在某种魔力的作用下，所有“负数的平方根”总是被抵消了。当时的许多数学家认为这些奇怪的平方根并不是真正的“合法数字”，只有在必要时才会使用它们。他们担心这些计算不一致，有一天会遇到严重的矛盾。 直到18世纪，莱昂哈德·欧拉才将这些数字与函数理论联系起来。然而，欧拉并没有复数的几何概念，他也不知道复数到底代表什么。他还认为代数基本定理（n次多项式有n个复数根）是正确的，但他从未给出令人信服的证明。

许多伟大的数学家试图证明 代数 基本定理，但都失败了。卡尔·弗里德里希·高斯是第一个正式证明这个定理的人。 18世纪末，这些“负数的平方根”被韦塞尔证明和实数一样合法，它们只是在另一个维度，而这个维度是当时的数学家所看不到的。这些数字被称为复数，如今，它们被认为是数字系统的一部分，并被证明与其他数字是一致的。 最后的感想 有时在数学中，我们需要实验，并成为数学家爱德华·弗伦克尔所说的“数学歹徒”。韦塞尔、高斯、柯西、黎曼、维尔斯特拉斯和其他人把复数建立在一个坚实的基础上，并证明了我们需要 它们 来解决很多实际问题。例如，黎曼证明了我们可以用它们来研究质数，量子力学的研究也离不开复数。


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