共边共角型
命名:共用一条边OB,共用一个角∠AOB.
简称:共边共角型
模型引入:共边共角型是“不平行A字型”(链接:)的特殊情况.当D点运动到B点时即为“共边共角型”.
共边共角型相似
模型分析:在共边共角型的条件下,如果再有一组角相等,两三角形相似,称之为“共边共角型相似”。通过上面动态几何直观图,可以发现“共边共角型相似”通过翻折、旋转转化为:平行A字型(链接:)。
共边共角型相似常见于几何综合题中,尤其在几何压轴题中,出现频率不低于四点共圆。这个模型不仅要熟悉模型图,熟练作图关,还要熟记模型的结论。观察结论的特点(对应线段成比例且属于比例中项型结论),有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例中项关系,要能快速判断出与之对应的相似模型,找到题中的相似三角形.
共边共角型相似基本图
一般三角形
条件:∠OAB=∠OBC.
结论:△OBC∼△OAB.(OB是OC和OA的比例中项)
小结:这也是初中阶段证明线段比例中项式的典型模型.
比例中项型结论:共边OB的平方等于较小边OC与较长边OA的乘积.
特殊三角形:直角三角形
当D点运动到C点时即为直角三角形的“共边共角型”.
模型分析:直角三角形作斜边上的高,形成的两个较小三角形与大三角形相似(共边共角型相似)
条件:CD为直角三角形ABC斜边上的高.
结论:△ADC∼△ACB∼△CDB.
射影定理(欧几里德定理)
在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
双重共边共角型相似
条件:等腰△ABC,AB=AC,∠MAN=∠B=∠C.
结论:△AMN∼△CMA∼△BNA;
△ABN中有共边共角型相似:△ANM∼△BNA;
△AMC中有共边共角型相似:△AMN∼△CMA.
通过翻折对称、旋转可得到平行A字型相似.
共边共角三等腰:
1.顶角为36°的等腰三角形
条件:AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线.
结论:△ABC、△BCD、△ABD为等腰三角形;
△BCD∼△ABC.(BC是CD和AC的比例中项)
小结:D点为黄金分割点.
2.底角为36°的等腰三角形
条件:AB=AC,∠BAD=∠B=36°.
结论:△ABC、△ACD、△ABD为等腰三角形;
△ABD∼△BCA.(AB是BD和BC的比例中项)
小结:D点为黄金分割点.
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