Common risk factors in the returns on stocks and bonds

Common risk factors in the returns on stocks and bonds

摘要

本文确定了股票和债券收益的五个常见风险因素。股票市场有三个因素:一个总体的市场因素和与公司规模以及账面市值比有关的因素。债券市场有两个因素，与到期和违约风险有关。由于股票市场的因素，股票回报有共同的变化，它们通过债券市场因素的共同变化与债券收益联系在一起，除了低级的企业，债券市场因素反映了债券收益率的共同变化。最重要的，这五个因素似乎解释了股票和债券的平均回报率。

1.介绍

美国普通股平均收益的横截面与夏普比例（1964）TLNTNER（1965）资产定价模型或BREEDEN（1979）等跨期资产消费定价模型的消费关系不大。例如，ReigANUM（198 1）和布里登、吉本斯和LyZeNBER（1989）。换句话说，在资产定价理论中没有特殊地位的变量显示了可靠的解释平均回报截面的能力。经验确定的平均值变量的列表包括大小（ME，市值），杠杆率，收益/价格（E/P），和账面市值比（公司普通股的账面价值，BE，其市值，ME）。例如班兹（1981）。班达里（1988）。巴苏（1983）。还有罗森伯格、瑞德和Lanstein

FAMA和French（1992年）研究了股票平均收益的横截面中市场、规模、E/P、杠杆和账面市值比共同作用。他们发现，单独使用或与其他变量组合共同使用，（股票收益在市场回报的回归中的斜率）几乎并不显著。单独使用，大小，E/P，杠杆，和书对市场的股本有解释力。在组合中，规模（ME）和账面市值比（BE/ME）似乎吸收杠杆和E的作用；最终结果是，两个经验确定的变量，规模以及账面市值比，很好地解释了在1963年至1990年期间纽约证券交易所、美国证券交易所和纳斯达克股票的平均回报的横截面。本文以三种方式扩展了Fama和French（1992年A）的资产定价测试。

（a）我们扩展了解释资产的范围。在FAMA和French（1992年A）中考虑的唯一资产是普通股。如果市场一体化，单一模型也应该解释债券收益。这里的测试包括美国政府和公司债券以及股票。

（b）我们还扩展了用于解释回归的变量集。FAMA和French（1992年A）的规模和账面市值比直接作用于股票。我们将列表扩展到可能在债券收益中起作用的期限结构变量。我们的目标是检查债券回报中重要的变量是否有助于解释股票收益，反之亦然。这种观点认为，如果市场一体化，债券和股票的回报过程可能会有一些重叠。

（c）或许最重要的是，测试资产定价模型的方法是不同的。FAMA和FA（1992年A）使用FAMA和MACBETH（1973）的截面回归：使用回归股票收益的横截面来解释平均的回归。由于规模和账面市值等解释变量对政府和公司债券没有明显的意义，因此很难在横截面回归中增加债券。

本文采用时间序列回归的方法，black、延森和斯科尔斯（1972）。股票和债券的月度收益在股票市场组合的回报率上回归，并模拟投资组合的大小、账面市值比（B/ME）和回报的期限结构风险因素。时间序列回归斜率是与大小或BE/ME不同的因素负荷，对债券和股票有明确的风险敏感性。时间序列回归也便于研究两个重要资产定价问题。

（a）我们的一个中心主题是，如果资产价格合理，与平均收益相关的变量，如规模和账面净值权益，必须代表对回报中常见（共享的和不可预测的）风险因素的敏感性。时间序列回归在这个问题上提供了直接的证据。特别是，斜率和R平方值表明，模拟相同大小或账面市值比在股票和债券收益的共享变化没有被其他因素解释。

（b）时间序列回归使用超额收益（月度股票或债券收益减去一个月国库券利率）作为因变量和超额收益或零投资组合的回报作为解释变量。在这样的回归中，一个很好的资产定价模型产生了截然不同于0的截距（默顿（1973））。所估计的截距显示共同因素的不同组合很好的捕获横截面的平均回报数据。此外，基于超额收益回归的截断来判断资产定价模型提出了严格的标准。竞争模型被要求解释一个月的票据利率以及长期债券和股票的回报率。

我们的主要结果很容易总结。对于股票而言，无论是在时间序列回归中投资组合模拟相同的大小和BE/ME，而捕捉到了很强的共同收益变化。这是一个证据，大小和账面市值比确实代表了对股票收益的共同风险因素的敏感性。此外，对于股票投资组合，我们研究了三个因子回归包括超额市场收益和大小和BE/ME因子的截距接近0。因此，一个市场因素和我们对风险因素与规模和帐面市值的代理关系似乎很好地解释了平均股票收益的横截面。

股票的时间序列回归的解释是有趣的。像FAMA和FRENCH（1992年）的横截面回归，时间序列回归表明，大小和账面市值比可以解释股票平均收益的差异。但这些因素不能单独解释股票平均收益与一个月票据之间的巨大差异。这项工作需要归于市场因素。在回归，包括大小和账面市值比因素，所有我们的股票投资组合对市场因素产生斜率接近1。市场因素的风险溢价将股票和票据的平均收益联系起来。

对于债券，两个期限结构因素（期限溢价和违约溢价）的模拟投资组合捕获了我们政府和公司债券投资组合收益的大部分变化。期限结构因素也“解释”了债券的平均回报率，但期限结构因素(如平均超额债券回报率)的平均溢价接近于0。因此，所有公司和政府债券投资组合具有相同的长期预期回报的假设也不能被拒绝。

股票回报的共同变化很大程度上被三个证券投资组合的回报所捕获，而债券回报的共同变化在很大程度上被两个债券投资组合的回报所解释。然而，股票和债券市场远不是随机分割。单独使用的时间序列回归。期限结构因素捕捉股票收益的剧烈变化；事实上，股票回归的期限结构因素的斜率非常类似于债券。但有趣的是，当股票市场因素也包含在回归中时，我们所有的股票组合在两个期限结构因素和市场回报因素上都有相同的方式。因此，股票的市场组合捕获了与个期限结构市场因素相关联的股票收益的共同变化。债券和股票市场之间的随机联系确实存在。然而。似乎主要来自期限结构因素。单独使用。超额的市场回报和大小和账面市值比因素似乎捕获债券收益的共同变化。但是，当债券结构中包含两个结构因素时，股票市场因素的解释力消失，除了低级公司债券。

简而言之，我们的结果表明，至少有三个股票市场因素和两个期限结构因素的回报。股票收益由于三个股票市场因素而有共同的变化，它们通过两个期限结构因素的共同变化与债券收益挂钩。除了低级公司债券，只有两个期限结构因素似乎在政府和公司债券的回报中产生共同的变化。

故事进行如下。我们首先介绍时间序列回归的输入：解释变量和待解释的回报（2和3节）。然后我们使用回归来攻解释我们的两个中心资产定价。

问题：变量的不同组合如何捕获（a）在债券和股票收益（4节）和（b）共同的变化以及以及横截面的平均收益

2时间序列输出

时间序列回归中的解释变量包括股票市场组合的收益率，模仿投资组合具有相同的大小，账面市值比，以及回报的期限结构因素。要解释的回报是在两个成熟度范围的政府债券组合，在五个评级组公司债券投资组合，和保证账面市值比及大小公平的25个股票投资组合。

2.1解释变量收益率

解释变量分为两套，那些可能是重要的解释债券市场回报的变量和那些可能是很重要的股票回报的标量。以这种方式对解释变量进行分段，建立了关于股票收益中重要因素是否有助于解释债券收益的解释，反之亦然。

2.2债券市场因素

债券收益的一个常见风险是利率的意外变化。我们使用TERM来表示，是每月长期政府债券回报（从伊博森协会）和在月末结束的月度国库券利率（从证券价格研究中心，CRSP）之间的差额。国库券利率是用来代表债券的预期收益的一般水平。因此，长期债券的回报率是由于利率变动而导致的预期收益偏离。

用于公司债券。经济状况的变化会改变违约的可能性，这会导致回报变化的另一个共同因素。DEF这种违约因素的代表是长期公司债券(Ibbotson Associates公司债券模块上的复合投资组合)市场投资组合的回报率与长期政府债券回报率之间的差异。

陈。滚动，罗斯（1986）使用TERM和一个像DEF这样的变量，以帮助解释在纽约证券交易所股票横截面的平均回报。他们使用FAMA和MACBETH（1973）横截面回归方法：使用横截面的TERM、违约因子以及其他的变量的斜率解释横截面的平均股票回报数据。在他们的测试中。违约因素是股票平均收益的最有力因素,TERM通常有力。我们证实了TERM和DEF的轨迹在股票收益的时间序列变化中清晰地显示出来。我们还发现，这两个变量支配着政府和企业债券收益的共同变化。与陈,罗斯的截面回归相反，然而，我们的时间序列回归说，DEF和TERM太小以至于无法解释解释在平均股票收益过大的变化上。[山肯和韦恩斯坦（1990）提出了类似的观点]。

2.1.2股票市场因素

动机——规模和账面市值比似乎是特别的变量来解释平均股票回报率，我们有理由期待他们能解释的市场风险因素的回报。在Fama和FERENCH（1992年），我们记录的大小和账面市值比与经济基本面有关。不足为奇的是，高BE/ME（相对于账面价值的股票价格较低）的公司往往资产收益较低，至少在五年前和五年后的对账面市值比公平的测量中收益较低。

相反地。低BE/ME（相对于账面价值的高股价）与持续高收益相关。

规模也与盈利能力有关。控制账面市值比变量，小公司往往比大公司的资产收益低。但是，收入的规模效应仅仅到了20世纪80年代，直到1981。控制账面市值比因素，小公司的利润只比大公司略低一些。但对于小公司来说，1982年的经济衰退变成了长期的经济萧条。由于某种原因，小公司没有参与到20世纪80年代中期和后期的经济繁荣中。

小公司可能会遭受长期的收益低落，而大公司则可以避免这种情况。这表明了，规模与一个市场风险因素有关，这可能解释了规模和平均回报之间的负相关关系。类似的。账面市值与收益之间的关系表明，相对盈利能力是回报中一个市场风险因素的来源，这可能解释了BE/ME和平均回报的正相关关系。

板块– 为了学习经济学基础Fama and French（1992年B）使用六种由ME以及BE/ME的股票组成的投资组合。我们使用相同的六个投资组合来形成投资组合，以模拟与规模和账面市值相同时的潜在风险因素。这确保了对收益中常见风险因素的研究与我们对经济基本原理的互补研究之间的一致性。

在每年的六月，从1963到1991，所有的纽约证交所股票在CRSP的使用市值（价格乘以股票数量）排名。NYSE规模的中位数用于拆分纽约证券交易所、美国证券交易所以及在1972后纳斯达克股票分成两组，小而大（S和B）。大多数美国证券交易所和纳斯达克股票都比纽约证交所的中位数小，因此，小规模组中的公司数量大（在1991年4794家公司中达到了3616家）。尽管有大量的股票，小集团的两个规模组的相加的价值还远远少于总市值一半（大约1991的8%）。

我们还将纽约证券交易所、美国证券交易所和纳斯达克股票，根据底部30%（Low）、中间40%（Medium）的断点，前30%（High）将其分成三个具有接近账面市值比的组合（根据纽约证券交易所的BE/ME的排名）。我们定义普通股权益的账面价格。使用股东权益的帐面价值，加上资产负债表递延税金和投资税抵免(如果有的话)，减去优先股的帐面价值来计算。

取决于数据的可用性，我们使用赎回、清算或面值（按该顺序）来估计优先股的价值。账面市值比的相似，BE/ME，然后，将在会计年度t - 1的会计年度中，按市场权益除以t –1年度12月底的所有者权益。在计算BE/ME或当形成大小以及根据BE/ME形成投资组合时，我们不使用在1980年之前很罕见负BE公司。只有普通股权的公司（由CRSP分类）包含在测试中。这意味着不包括ADR、REITs和利益相关单位。

根据我在FAMA和FRENCH（1992年A）的证据表明，账面市值比在平均股票收益比规模上具有更大的作用。我们决定将根据BE/ME将公司分为三类，根据ME将公司分为两类。但是，这种分裂是任意的，我们还没有找到替代方案。信心是这里的检验以及在FAMA和French（1992年B）对这些决定并不敏感。我们没有理由对这种分类进行争辩。

从我们对ME的两个分组以及对BE/ME的三个分组中，我们构造了六个投资组合（S/L，S/M，S/H. B/L，B/M，B/H）。例如。S/L投资组合包含在小ME组中的股票，它们也在低BE/ME组中，B/H组合包含大的ME股票，它们也在高BE/ME组中。六个投资组合的月价值加权回报率从t年7月到t + 1年6月计算。投资组合在t + 1年6月份重新分组。我们从t年7月开始计算收益，以确保t - 1年的账面权益是已知的。

要包含在测试中，公司必须有t - 1年12月和t年6月的CRSP股票价格和t - 1年的COMPUSTAT（会计数据库中）账面普通股权益。此外，为了避免COMPUSTAT将公司添加到数据库中所固有的生存偏见[Banz和Breen(1986)]，在公司出现在COMPUSTAT上两年之后，我们才将它们包括在内。(COMPUSTAT称，在加入公司时，它很少包含超过两年的历史数据)。

规模——我们的投资组合，SMB (small - big)，表示为模仿与规模相关的回报的风险因素，是根据每个月3小市值投资组合（S/L，S/M，S/H）以及3个大市值投资组合（ B/L，B/M，B/H）在平均回报率之间的差额。因此，SMB是小型和大型股票投资组合的回报之间的差额，将账面市值比作为控制变量。这种差异应该在很大程度上不受BE/ME的影响，而是集中在大型与小型公司的不同平均回报。

BE/ME -投资组HML（高减低）。类似于模仿与账面市值比相关回报的风险因素。HML是每个月在两个高BE/ME投资组合（S/H和B/H）收益的简单平均值和两个低BE/ME投资组合（S/L和B/L）收益的平均值之间的差异。HML的两个组成部分是高投资组合和低投资组合的回报率，它们的加权平均规模大致相同。因此，两个回报之间的差异应该在很大程度上没有市值因素，而是集中在高和低BE/ME公司不同的回报行为。1963-1991年每月对于市值以及账面市值比两个因素的模拟回报相关系数只有0.08，可以作为作为这一简单程序成功的证明。

真实模拟投资组合中市场风险因素，最大限度地减少了公司特定因素的方差。在SMB和HML中，6个size -ME组合是价值加权的。价值加权是为了最小化方差，因为返回值方差与大小负相关(表2)。下文)。更重要的是，使用价值加权的成分可以模拟投资组合，捕捉小股和大股不同的回报行为。或高和低的股票，以一种符合现实投资机会的方式。

市场回报率----我们对股票回报的市场因素的反映是超额市场回报，即rmr–rf.RM是6个SIZE-BE/ME股票组合的价值加权组合的回报，加上被排除在投资组合之外-BE的股票。RF是一个月的票据利率。

2.2被解释的回报

债券-在时间序列回归中使用的依赖变量集包括两个政府和五个公司债券组合的超额收益。政府债券投资组合（formCRSP）涵盖1至5年和6至10年的到期日。5个公司债券的投资组合，由穆迪的评级机构从Aaa, Aa，A,Baa，LG(低级别，也就是Baa之下)来自Ibbotson Associates的公司债券模块(由Dimensional Fund Advisors提供给我们)。

股票-股票，我们使用在25个投资组合的超额回报率，通过控制市值以及账面市值比平衡，作为时间序列回归的因变量。我们使用按规模和账面市值比组成的投资组合，因为我们寻求确定模拟投资组合SMB和HML是否捕捉了与规模和账面市值比有关的股票回报中的市场因素。根据规模和BE/ME形成的投资组合还将产生各种各样的平均回报，这些回报可以用相互竞争的资产定价方程来解释。然而，我们使用E/P（收益/价格）和D/P（股利/价格）形成的投资组合。变量对于平均回报也有解释力（类似KEIM（1988）），检验我们的结果对解释因子捕捉平均回报横断面的能力的稳健性。

25个SIZE-BE/ME投资组合很像前面讨论的6个SIZE-BE/ME的投资组合。在每t年的六月，我们将NYSE股票按市值分以及（独立地）账面市值比分类。对于大小，ME是在t年的六月底测量的。对于账面市值比，ME是t - 1的12月底的市场权益. BE是以日历年度T- 1的会计年度的账面普通股权益。我们使用NYSE分位点为ME和BE/ME分配纽约证券交易所，美国运股票交易所，和（1972后）纳斯达克股票，5个市值的分位点以及5个账面市值比的分位点。我们构建根据市值以及账面市值比的分类建立了25个投资组合，并计算加权投资组合从t年七月到t+1年六月的月度收益率。这25个投资组合在1963年7月至1991年12月的超额收益是股票在时间序列回归中的因变量。

25个size-BE/ME的投资组合在下文呈现。从1963年到1991年的每一年，纽交所对市值的五次断点(ME，在6月底衡量的股票价格乘以流通股数)，被用来将纽交所，美国运通，纳斯达克的股票分为5类。同样，来自NYSE五个BE/ME的分位点用于分配纽约证券交易所，美国运股票交易所，和纳斯达克股票分为5类。“25个size-BE/ME”形成为五个维度的市值和五个账面市值比的交集。市值，BE,是由COMPUSTAT股东权益账面价值，加上资产负债表递延税金和投资税收抵免，减去优先股的账面价值。根据可用原则。我们使用了赎回，清算，或票面价值(按此顺序)来估计优先股的账面价值。账面市值比。BE/ME。账面价格为t-1会计年的账面价格，市值根据t-1的十二月最后一天价格统计。

一个投资组合账面市值比，是由一个加总的账面价值,BE,在t-1会计年度报表中统计得到的账面市值，除以它们的市场权益的总和，ME，在t-1十二月的市场价值。一个投资组合的市盈率(e/p)为在日历年度T - 1结束的财年组合中的公司的收入，除以十二月的市场权益之和。股权收入是目前的收入，再加上延期缴纳的税款。减优先股利。T年一个投资组合的股息收益率（D/p）是从t-1年七月到t六月的股息支付的股利的总和，除以投资组合中的公司t-1六月市场权益的总和。我们使用FAMA和FRENCH（1988）中描述的程序来估计股利。

描述性统计是在每年六月形成投资组合时计算的。1963年至1991年。

表1显示，因为我们使用纽约证券交易所的断点来形成25size-BE/ME投资组合，在最小规模的五分之一的投资组合拥有最多的股票（主要是小型的AMEX和纳斯达克股票）。尽管它们包含许多股票，但在最小投资组合中，五个投资组合中的每一个平均都少于25个投资组合中股票组合价值的0.70%。相比之下，规模最大的五分之一的投资组合拥有最少的股票，但为价值最大的部分。五大投资组合中市值约为总价值的74%。在最大规模和最低Be/Me五分位数（大成功公司）的股票组合中，占据了25个组合的组合价值的30%以上。请注意假如使用所有股票，而不仅仅是纽约证券交易所的股票来定义规模的五分位数，将导致更大的价值分布偏向与最大规模的五分位数。

表1还表明，在每一个规模的五分之一除了最小规模，无论是股票的数量和总价值的比例都自低账面市值比的投资组合到高账面市值比的投资组合递减。这种模式有两个原因，首先，从纽约证券交易所股票独立的使用规模和账面市值比形成投资组合，意味着最高的BE/ME五分位数倾向于最小的股票。其次，AMEX和纳斯达克股票，大多是小型股，往往比纽约证交所股票规模更低。换言之，纽交所的市值很小，比小型的AMEX和纳斯达克股票看更像是下跌的天使（股票价格低的大公司）。

3输出结果

表2总结了时间序列回归中的相关和解释性回报。作为因变量的投资组合的平均超额收益给出了风险因素集合必须解释的平均收益的范围。解释投资组合的平均回报是风险(回归斜率)每单位风险的平均溢价。

3.1相关收益

股票——由市值和账面市值形成的25个股票组合产生了广泛的平均超额回报，从每月0.32%到1.05%。这些投资组合还证实了Fama-French (1992a)的证据，即市值与平均回报之间存在负相关关系，而平均回报与账面市值比股票之间存在更强的正相关关系。除了最低五分之一的BE/ME之外，平均回报率往往从小投资组合到大投资组合下降。平均收益率与账面市值之间的关系更为一致。在每一种市值的五分位数中，平均回报率往往随着BE/ME的增加而增加，而最高和最低的BE/ME投资组合的平均回报率之间的差异每月从0.19%到0.62%不等。

我们的时间序列回归试图用收益中常见风险因素的溢价来解释平均回报的横截面。25个股票投资组合的平均回报率，以及平均回报的市值和账面市值的影响，为比较风险因素带来了有趣的挑战。

10个中大多数投资组合的BE/ME最下面的五分之二中产生的平均超额回报率对于0都小于两个标准误差。这是一个众所周知的问题的例子[Merton(1980)]:由于股票回报率有很高的标准差(对于大小为BE/ME的投资组合，每个月大约有6%)，大的平均回报率通常与0并不存在可靠的差异。然而，股票回报率的高波动性并不意味着我们的资产定价测试将缺乏动力。收益的共同因素将吸收股票收益的大部分变化，使对时间序列回归的拦截进行的资产定价测试非常精确。

债券——与股票投资组合相比，表2中政府和公司债券投资组合的平均超额回报微不足道。所有超额债券的平均收益率都低于0.15%，而7个中只有一个的标准误差大于1.5。表2几乎没有证据表明(a)政府债券的平均回报率随到期时间增加，(b)长期公司债券的平均回报率高于政府债券，或(c)低评级集团的公司债券的平均回报率更高。

平均债券收益率的横截面并不意味着债券在资产定价测试中是无趣的因变量。相反。债券是拒绝资产定价公式的好候选人，这些公式可以根据不同的斜率对收益的共同风险因素进行预测。

3.2解释性收益

在资产定价测试的时间序列回归方法中，收益中常见因素的平均风险溢价仅仅是解释变量的平均值。rm - rf的平均值(每单位市场价格的平均溢价)是每月0.43%。从投资角度来看，这是一个很大的数字(大约每年5%)，但这是一个对0的边际1.76的标准误差。SMB的平均回报(与市值相关的投资回报的平均溢价)仅为每月0.27% (t = 1.73)。然而，我们将发现，这25个股票投资组合的SMB的斜率覆盖了超过1.7的范围，因此，由于市值因素，预期收益的估计利差很大，约为每月0.46%。账面值对市值因素HML。平均每月产生0.40%的溢价(t = 2.91)，这在实际和统计上的TERMS中都是很大的。

期限结构因素的平均风险溢价相对于股市因素而言微不足道。TERM (时间溢价)和DEF(违约溢价)平均每月0.06%和0.02%;两者的标准误差都在0.4以内。不过请注意，TERM和DEF的波动性与股市回报率SMB和HML差不多。较低的平均溢价将阻止TERM和DEF解释平均回报的许多横截面变化，但高波动性意味着这两个因素可以在回报中获得实质性的共同变化。事实上，TERM和DEF的低均值和高波动性将有利于解释债券收益。但解释股票平均回报率的强横截面变化的任务落在了股市因素上。RM-RF、SMB和HML,它们产生了更高的平均溢价。

现在我们来看看资产定价测试。在时间序列回归方法中，测试有两个部分。在第4部分中，我们建立了两个债券市场回报，TERM和DEF，以及三个股票市场回报，rm-rf和SMB和HML，它们是风险因素，捕捉了股票和债券回报的共同(共享因而不可分散)变化。在第5节中，我们使用时间序列回归的截距来测试收益中常见风险因素的平均溢价是否可以解释债券和股票的平均回报的横截面。

4回报的共同变化

在时间序列回归中，斜率和R方值直接证明了不同的风险因素是否反映了债券和股票回报率的共同变化。我们首先分别考察债券市场和股票市场因素的解释力。目的是测试股票和债券收益的随机过程之间的重叠。在债券收益中重要的债券市场因素是否反映了股票收益的共同变化？反之亦然？然后，我们研究了债券和股市因素的共同解释力，为共同的回报变化总结出一个整体的逻辑。

4.1债券市场的因素

表3显示，TERM和DEF单独作为时间序列回归中的解释变量，捕获了股票和债券收益的共同变化。25个股票组合在TERM上产生的斜率是大于5个标准误;七个债券组合中最小的TERM斜率是18个标准误。债券在DEF上的斜率都是超过7.8个标准误，股票在DEF上的斜率超过3.5个标准误。

TERM是LTG-RF。其中LTG是月长期政府债券收益率的百分比，RF是一个月的国库券利率在月初的观测值。DEF是CB- LTG ，其中CB是代表公司债券市场组合的回报。

在超额收益回归回归中，作为因变量的7个债券组合分别是1-5年和6-10年政府债券(1-5G和6-10G)和评级为Aaa、aa、a、baa、Baa (LG)之下的公司债券，在穆迪(Moody 's)的评级下。25个市值-BE /ME的股票组合如下所示。从1963年到1991年，每年纽交所都会根据市值(ME ，股票价格乘以流通股)设置五分之一的断点，在六月底测量，用来分配纽交所、美国运通、纳斯达克的股票有五种。同样，纽交所(NYSE)的BE/ME五分点被用来将纽交所(NYSE)、美国运通(Amex)和纳斯达克(NASDAQ)的股票配置为五种账面市值比的股票。在BE/ME中，BE是以日历年t - 1结尾的财年的账面普通股权益，ME是t - 1的12月底的数值。25个市值-BE/ME组合作为5个市值和5个BE/ME组的交集。从t年7月到t + 1年6月，投资组合的价值加权月回报率。

R方和剩余标准误差。s(e)，根据自由度进行调整。

TERM和DEF上的斜率允许直接比较短期结构变量跟踪的股票和债券收益的共同变化。有趣的是，TERM和DEF所捕捉到的常见变化，如果有什么区别的话，那就是股票要比债券强。大多数股票的斜率大于债券的斜率。股票的TERM斜率(都接近1)与债券产生的最大斜率相似。

然而，正如人们可能期望的那样，TERM和DEF解释的回报方差的分数对于债券来说更高。在债券回归中，R方的范围从低等级公司的0.49到高等级公司的0.97和0.98。相比之下，股票的R方在0.06到0.21之间。因此，TERM和DEF明确地确定了股票和债券回报率的共同变化，但对于同样股票和低等级债券，有很大的变化要用股票市场的因素来解释。

在TERM的斜率上有一个有趣的模式。1- 5年期和6- 10年期政府债券的收益率斜率从0.45上升到0.72，然后在5个长期公司债券组合中的4个以接近1的价格结算(垃圾债券组合LG，斜率为0.81是例外)。这与预期的一致。长期债券比短期债券对TERM计算的利率变化更为敏感。更惊人的是，25个股票投资组合的TERM斜率就像长期债券一样。这表明，TERM捕捉到的来自折现率的冲击的风险，对影响长期证券、债券和股票是以同样的方式。

这里观察到的TERM斜率与我们先前的证据之间存在有趣的相似之处，即收益率差可以预测债券和股票的回报。在Fama和French(1959)中，我们发现长期债券收益率减去短期债券收益率的价差(TERM的事前版本)预测了股票和债券的回报，并捕捉了长期债券和股票的预期回报随时间的变化是相同的。我们推测，收益率差反映了以大约相同的方式影响所有长期证券的贴现利率变化的期限溢价的变化。这里观察到的长期债券和股票在TERM上的类似斜率似乎与这个猜想相符。

我们之前的研究还发现，长期减短期收益率的利差在正值和负值之间波动，平均接近于0。这与这里的证据(表2)一致，即与利率变动相关的共同风险的平均溢价(TERM的平均值)接近于0。

表3中DEF斜率中的模式也很有趣。小股票的回报比大股票的回报更敏感于DEF所捕获的风险。股票的DEF斜率往往大于公司债券的DEF斜率，公司债券的DEF斜率比政府债券的DEF斜率大。因此，DEF似乎抓住了从政府债券到公司债券、从债券到股票的收益中常见的“违约”风险。从大股票到小股票。同样，在DEF斜率上的这种模式与Fama和French(1989)在DEF（低等级减高等级的利差）事前版本的股票和债券收益的时间序列回归中观察到的相似模式之间有一个有趣的相似之处。

使用Fama-Macbeth(1973)横截面回归方法和基于大小排序值形成的股票投资组合，Chan, Chen。Hsieh(1985)和Chen, Roll和Ross(1986)发现，像DEF这样的变量上的斜率的横截面对于解释市值和平均股票回报之间的负关系有很大的帮助。考虑到表3中DEF的市值与DEF上的斜率之间的负相关关系，很容易理解为什么DEF斜率在大小组合的横截面回归中工作得很好。

然而，我们的时间序列回归表明，DEF无法解释平均股票回报的市值效应。在时间序列回归中，DEF斜线的单位平均溢价是DEF平均值，每月0.02%。同样，TERM的平均回报率也只有0.06%。因此，我们将看到，在TERM和DEF的股票收益回归中的截距，在平均回报中留下了强大的市值和账面市值比因素的影响。我们还将发现，当将股市因素加入回归时，表3中的市值与DEF斜率之间的负相关关系将消失。

4.2股市的因素

股票市场因素在回报中的作用可分为三个步骤。我们检验(a)使用超额市场回报(rm - rf)的回归来解释超额债券和股票回报，(b)使用SMB和HML的回归，市值和账面市值因素的模拟回报作为解释变量。(c)使用rmr - rf，SMB和HML的回归，三因素回归对股票来说很有效，但一、二因素回归有助于解释原因。

表4显示，毫不奇怪的是，与表3中的期限结构因素相比，股票市场投资组合的超额回报rm-rf反映了股票回报的更一致的变化。为以后的目的，重要的事实是，市场在股票回报上留下了许多可能被其他因素解释的变化。唯一接近0.9的R方值是大股票低账面市值投资组合。对于小股票和高市盈率的投资组合，R方值小于0.8或0.7是规则。对于这些股票投资组合，SMB和HML，市值和账面市值比因素将最有可能显示出边际解释力。

股票的市场组合也反映了债券回报率的共同变化。尽管市场βs是债券比股票要小得多。它们是从0到12个标准误。与直觉一致,β为公司债券高于政府债券而低档债券比高档债券高。低级债券(LG)的β是0.30,和RM-RF解释了LG回报的方差的29%。

RM是25个市值-BE /ME投资组合中所有股票的月度价值加权回报率，加上被排除在25个投资组合之外的负资产投资回报率。RF是在月初观测一个月的国库券利率。

在超额收益回归回归中，作为因变量的7个债券组合分别是1-5年和6-10年政府债券(1-5G和6-10G)和评级为Aaa、aa、a、baa、Baa (LG)之下的公司债券，在穆迪(Moody 's)的评级下。25个市值-BE /ME的股票组合如下所示。从1963年到1991年，每年纽交所都会根据市值(ME ，股票价格乘以流通股)设置五分之一的断点，在六月底测量，用来分配纽交所、美国运通、纳斯达克的股票有五种。同样，纽交所(NYSE)的BE/ME五分点被用来将纽交所(NYSE)、美国运通(Amex)和纳斯达克(NASDAQ)的股票配置为五种账面市值比的股票。在BE/ME中，BE是以日历年t - 1结尾的财年的账面普通股权益，ME是t - 1的12月底的数值。25个市值-BE/ME组合作为5个市值和5个BE/ME组的交集。从t年7月到t + 1年6月，投资组合的价值加权月回报率。

R方和剩余标准误差。s(e)，根据自由度进行调整。

SMB和HML -表 5表明，在缺乏市场组合竞争的情况下，SMB和HML通常在股票回报中捕获大量的时间序列变化;25个R方值中有20个高于0.2,8个高于0.5。特别是对于市值较大的五分之一的投资组合，SMB和HML在股票回报率中留下了共同的变化，表4中的市场投资组合体现了这种变化。

表5指出，单独使用时，SMB和HML几乎没有能力解释债券收益。表6显示，当超额市场回报也在回归时，三个股市因素中的每一个都能捕捉到债券收益的变化。然而，我们发现，在债券回归中加入期限结构因素，在很大程度上抹杀了股市因素的解释力。因此，表6中股票市场因素在债券收益率中的明显作用可能是由于期限结构因素和股票市场因素之间的协同变化。

表6中有趣的回归是关于股票的。不出意外的，这三种股票市场因素都反映了股票收益的强共同变化。市场对股票的βs超过38个标准误。有一个例外，对股票的SMB斜率上的t统计量大于4;大多数都大于10。SMB是市值因子的模拟回报，它清楚地捕捉了市场和HML所忽略的股票回报的共同变化。此外，股票的SMB的斜率与市值有关。在每一账面市值比的五分位数中，SMB的斜率从较小的五分位数到较大的五分位数单调地减少。

同样，HML上的斜率，即账面市值因素的模拟回报，也与BE/ME相关。在每种市值五分之一的股票中，HML斜率单调地从最低五分之一的低的负值增加到最高五分之一高的的正值。除了第二个五分之一的BE/ME(斜率从负到正)，HML的斜率超过5个标准误。HML显然捕捉到了与账面市值比相关的股票回报的共同变化，但这被市场和SMB所忽视。

考虑到SMB和HML对股票的高的斜率，在回归中增加两个回报会导致R方的大幅增加也就不足为奇了。对于股票来说，市场本身只产生两个（在25个中）大于0.9的R方值(表4);在三因素回归(表6)中，大于0.9的R方值是常规值(25中的21)。对于5个投资组合大小最小的一个投资组合，R方从表4的0.61到0.70之间的值增加到表6的0.94到0.97之间的值。即使是股票最低的3个因素的R方(市值最大、账面市值比最高的五分之一为0.83)，也远高于仅由市场产生的0.69。

添加SMB和HML回归会对股票市场的βs产生有趣的影响。在表4的单因素回归中，最小市值和最低账面市值比的股票组合的β值为1.40。在另一个极端,最大市值和最高账面市值比的股票的投资组合的β值是0.89。在表6的三因素回归中，这两个组合的βs是 1.04和1.06。一般来说,添加SMB和HML到回归使股票得βs接近1.0;低βs上移到1.0和高βs向下移动。当然，这种行为是由于市场与SMB或HML之间的相关性造成的。虽然SMB和HML几乎不相关(- 0.08)，但RM-RF与SMB和HML回报之间的相关性为0.32和- 0.38。

4.3股票市场与债券市场因素

单独来看，债券市场因素捕获股票收益和债券收益的共同变化（表3）。单独来看，股票市场因素捕获债券收益和股票收益的共同变化（表6）

（也就是债券因子和股票因子单独来看，都分别影响着股票收益和债券收益）

这些结果表明，债券和股票收益的随机过程之间存在重叠。我们强调这一点，是因为对股票和债券市场影响因素的联合测试能把问题搞清楚。

第一部分：Used together来解释收益回报，表7 债券市场因素继续在债券收益中起到很强的作用，股票市场因素对股票收益具有较强的作用。对于股票收益（表6中是显著）而言，加入期限因子和违约风险因子后这些因子的回归系数均不显著，而市场因子，账面市值比因子和规模因子的回归系数对回归曲线的影响均非常显著；反之债券市场（表3中是显著）也是相同。

表7中的五个因子回归。然而，似乎与表3和6中的证据相矛盾，债券和股票的收益之间存在较强的重叠，将股票三因子加入到股票收益的回归模型中，使得债券两因子本来对股票收益有显著的关系消失了。反之也是同理，表6中的证据表明债券收益对股市因素的反应也在表7b中基本消失。五因素回归中，只有低等级债券组合-LG继续在股票市场上产生非平凡的斜率。

表7似乎说，债券和股票收益的唯一共同变化来自低级债券。但表3和表6表示，债券和股票市场因素单独用于解释收益时，债券和股票收益有着强烈的共同变化。我们能调和这些结果吗？我们认为，这两个期限结构因素确实是共同的债券和股票回报。然而，在股票的五因子回归中，TERM和DEF因子被隐藏在超额的市场回报中。与这两个期限结构因素相反，三个股票市场的因素一般局限于股票收益；除了低级债券，这些因素并没有溢出到债券收益中。简而言之。我们认为股票收益分享了三个股票市场因素，股票和债券收益之间的联系主要来自两个共同的期限结构因素。

第二部分：一个使正交化的市场因素-如果股票收益中有多个共同因素，它们都是市场回报，RM，这只是CRSP-COMPAT-STAT样本中股票收益的价值加权平均。RM－RF对SMB的HML、TERM和DEF回归对于1963年7月到1991年12月的月收益说明了这一点：

t统计量位于斜率以下的括号中，R方为0.38。这一回归表明，市场回报是回报的共同因素的大杂烩。由RM- RF（股票证券投资组合的超额收益）产生的TERM和DEF的强斜率是两个期限结构因素捕获股票收益的共同变化的明显证据。

截距和残差的总和（L），称之为RMO，是一个零投资组合收益，与四个解释变量（I）不相关。我们可以使用RMO作为一个正交化的市场因素，捕捉SMB、HML、期限和DEF留下的共同收益的变化。由于股票市场收益率，SMB和HML在很大程度上与债券市场收益、期限和DEF不相关（表2）。五因子回归，使用RMO，SMB，HML，TERM。解释债券和股票收益将清晰地反映债券和股票市场因素在债券和股票收益中的单独作用。回归在表8中。

表8b中债券收益的共同变化的情况与表7b一样，债券市场因素、期限和DEF在债券收益中具有很强的作用。一些债券投资组合在股票市场上产生斜率超过0大约2个标准差。但这主要是因为项和DEF在债券回归中产生高的R方值，因此非平凡的斜率可以可靠地与0不同。与表7b一样，只有低等级债券组合（LG）在股票市场因素上产生非平凡的斜率。否则，股票市场因素对由期限和DEF所影响的债券收益的共同变化没有多大影响。

对于股票组合而言，表8A的五因子回归中的RMO的斜率与表7A中的RM- RF的大斜率相同（在构造上），表8A中的斜率和账面市值比相对于7中的斜率有所偏移（上至SMB，下降为HML）。

但表8A中的SMB和HML在股票组合中的价差与表7A中的价差相似，SMB和HML再次捕捉到股票收益的强烈共同变化。

相对于表7，表8中的5个因素的发生主要变化的期限结构因子是影响股票的因素。TERM的斜率大于14标准误差为0；DEF斜率为0以上的7个标准误差。股票的TERM和DEF的斜率类似于债券的斜率。与表7不同的是，表8中的五个因子回归表明，期限结构因素在股票和债券收益中捕捉到强烈的共同变化。

期限结构变量如何被隐藏在表7A中的五因子回归中？表8a表明股票收益对RMO，TERM和DEF的关系强烈，但这些因素在斜率上的横截面变化很小。 所有股票投资组合产生的TERM和DEF斜率接近0.81和0.79，这是由（I）中的超额市场回报产生的斜率。 股票投资组合在表8a中的RMO产生的斜率接近1.0，因此在表7a RM-RF产生的斜率也接近1.0。 表7a和8a则表明，由于RM-RF，RMO，TERM和DEF在斜率上的横截面变化很小，因此表7a中的超额市场回报吸收了与RMO，TERM和DEF相关的股票收益的常见变化。总之，与表中结构性因素相关的股票收益的常见变化埋在表7a中的超额市场收益中。

表8中的五因素回归与表7中的回归有什么区别？只有证明这一点，除了三个股票市场因素。 股票收益有两个债券市场因素。否则，这两组回归产生相同的R方值，从而产生相同的总回报变化的估计值。而这两组回归产生相同的截距以检验五因素模型对平均股票收益横截面的影响。

5. 横截面的平均收益

表3至表8中的回归斜率和R方值确定了股市回报。 SMB，HML和RM-RF（或RMO）以及债券市场回报TERM和DEF 代表风险因素。 它们捕捉债券和股票收益的常见变化。 股票收益与三种股票市场因素有共同的变化，它们通过两个期限结构因素的共同变化与债券收益挂钩。 我们接下来测试五种代理风险因素的评平均溢价如何很好地解释债券和股票的平均回报的横截面。

平均回报测试以时间序列回归中的截距为中心。 回归中的因变量是超额收益。 解释变量是超额收益（RM-RF和TERM）或零投资组合（RMO，SMB，HML和DEF）的收益。 假设由于公司特定因素导致的解释性收益差异很小，所以它们很好地模拟了潜在状态变量的回报或投资者关心的常见风险因素。 然后，Merton（1973）和Ross（1976）的多因素资产定价模型暗示了一个简单的检验，即与任何一组解释性收益相关的溢价是否足以描述平均收益的横截面：时间序列中的截距 模拟投资组合收益的回报超额回报应该与0.1不可区分

由于股票投资组合产生了广泛的平均收益率，我们首先检查它们的截距。 我们对模拟是否返回SMB和HML特别感兴趣。 吸收平均回报的规模和账面对市场的影响，如表2所示。然后我们检查债券的截距。 问题在于不同的因子模型是否预测了表2中平均回报率平均值所拒绝的平均回报率模式。

5.1横截面平均股票收益

RM-RF - 当超额市场回报是时间序列回归中唯一的解释性变量时，股票的截距（表9a）显示了Banz（1981）的规模效应。 除了最低的BE / ME五分位数。 最小规模投资组合的截距超过了最大0.22％至每月0.37％。 截取也与账面市值比有关。 在每个大小五分位数中，截距随着BE / ME而增加; 最高BE / ME五分位数的截距超过每月最低0.25％至0.76％的截距。 这些结果与Fama和French（1992a）的证据相平行，即单独使用市场βs会留下与规模和账面市值相关的平均股票回报的横截面变化。

事实上，与Fama and French （1992a）一样，这里使用的25种股票投资组合的平均收益率和β之间的简单关系是平稳的。 β的平均回报的回归产生-0.22的斜率，其标准误差为0.31。 Sharpe（1964） - 林特纳（1965）模型（β足以描述平均收益的横截面，β与平均收益之间的简单关系为正值）在这里比在我们以前的论文中更为贴切。

SMB和HML - SMB和HML的超额股票收益的双因素时间序列回归对25种股票投资组合产生类似的截距（表9a）。 然而，双因子回归截距大（每月约0.5％），接近或超过两个标准差为0.截距的大小相似，支持Fama和French的横截面回归结论（1992a）规模和账面市场因素解释了各股票之间平均收益的强烈差异。 但大截距也说SMB和HM不能解释超过一个月的账单回报的股票回报的平均溢价。

RM-RF，SMB和HML-将超额市场回归增加到时间序列回归，将在双因素（SMB和HML）回归中观察到的股票的强正面截距推到接近0的值。只有25个中的三个 三因素回归的截距与0不同，每月超过0.2％：16个在0的0.1％以内。接近0的截距表示使用RM-RF、SMB、 HML的回归吸收常见的收益率时间序列变化很好地解释了平均股票收益率的横截面。

当超额市场回报（RM-RE？）被添加到双因素（SMB和HML）回归中时，获得的较小截距有一个有趣的故事。 在三因素回归中。 股票投资组合在RM-RF附近产生接近I的斜率。平均市场风险溢价（每月0.43％）吸收了SMB和HML股票收益率回归中观察到的类似的强正收益率。 总之，规模和账面市场因素可以解释不同股票之间的平均回报。 但需要市场因素来解释为什么股票收益率平均高于一个月的票据利率。

TERM和DEF - 表9a显示，将期限结构因子TERM和DEF添加到股票的时间序列回归中几乎没有影响三个股票市场因素产生的截距。同样。 尽管TERM和DEF单独用于解释股票收益（表3），但是它们有很强的斜率。 这两个变量产生的截距接近表2中25只股票投资组合的平均超额收益率。

这些结果的原因很简单。平均TERM和DEF回报（期限结构因素的平均风险溢价）是微不足道的，每月为0.06％和0.02％。 TERM和DEF的高波动性（表2）使他们能够在表3的双因素回归和表8的五因子回归中捕获债券和股票收益的实质性常见变化。但是，平均TERM和DEF回报率较低 意味着两个期限结构因素无法解释平均股票收益率的横截面变化。

5.2横截面平均债券收益

表3. 7b和8b表示债券收益率的常见变化主要受债券市场因素TERM和DEF的影响。 当TERM和DEF处于债券回归中时，只有低档债券组合（LG）对股票市场因素具有非平凡的斜率。 就像TERM和DEF的平均值一样。 债券投资组合的平均超额收益接近于0（表2），所以债券时间序列回归的截距（表9b）接近0并不奇怪。

低的平均TERM和DEF溢价意味着期限结构因素在一个明确规定的资产定价模型中是不相关的？ 几乎不。 TERM和DEF是债券收益常见变化的主要变量。 此外，Fama and-French（1989）和Chen（1991）发现像TERM和DEF这样的变量的期望值随时间而变化，并且与商业条件有关。 TERM的期望值（贴现率风险溢价）在商业周期波谷附近为正值，在峰值附近为负值。 当经济状况较差且违约风险较高时，DEF中违约溢价的预期值较高，而当业务状况较好时，预期溢价较低。 因此，股票和债券对TERM和DEF的常见敏感性意味着预期股票和债券收益的跨期变化。

5.3回归截距的联合检验

我们使用Gibbons、Ross 和Shanken的统计（1989）正式检验了一组假设，即一组解释变量为32债券和股票投资组合产生的回归截距均等于0.对于产生的五组截距F-统计量和bootstrap概率水平 表3至表8中的解释变量列于表9c。

F检验支持上面的截取分析。 测试拒绝了期限结构的假设，TERM和DEF足以解释债券和股票的平均回报率在0.99水平。 这证实了这一结论，从表9a的回归截距可以看出，平均TERM和DEF回报率低并不能解释平均股票收益率的横截面。 F检验拒绝了RA-RF足以解释0.99水平的平均回报的假设。 这证实了超额市场回报并不能解释平均股票收益的规模和账面对市场的影响。 当SMB和HML是唯一的解释性变量时，观察到的股票的大正截距产生了拒绝零截距假设在0.98水平的F-统计量。

就F检验而言。三种股票市场因素RM-RF，SMB和HML产生最佳表现的截距。尽管如此，所有截至7个债券和25个股票投资组合的联合测试均为0.95左右的拒绝。拒绝主要来自最低BE / ME五分位股票。在账面市值比率（成长股票）最低的股票中，与三因素模型的预测相比，最小股票的回报率太低（每月-0.34％，t = -3.16）而最大的股票的回报率太高（每月0.21％，t = 3.27）。换句话说，表9c中三因素模型的拒绝是由于最低BE / ME五分位数没有规模效应。 BE / ME五分位数最低的五个投资组合在规模因子SMB上产生斜率，与规模强烈负相关（表6）。但与其他BE / ME分位数不同的是，最低BE / ME五分位数的平均回报率与大小无关（表2）。

尽管在F检验中被边际拒绝，但我们认为三因素模型在平均股票收益的横截面上做得很好。 模型的拒绝仅仅表明，因为RM-RF，SMB和HML吸收了25种股票投资组合的回报的大部分变化（表6中典型的R值大于0.93）。 即使是小的异常平均回报也足以表明三因素模型只是一个模型，也就是说它是错误的。 为了回答这个模型是否可用于应用的重要问题，有趣的结果是，25个三因素回归截获股票中的一个（对于最小和最小BE / ME五分位数组合 ）在实际中与0非常不同。

事实上，我们认为使用RM-RF，SMB和HML来解释平均收益的三因素回归确实令人惊讶，因为构建规模和账面市场因素模拟回报SMB和HML的简单方式是构建的。 尽管SMB和HML肯定包含一些企业特定的噪音作为与规模和账面市值相关的风险因素的代理，但回归对于接近0的股票产生截取。

加入期限结构的因素TERM和DEF，以及也使用RM-RF，SMB和HML作为解释变量的回归增加F.更大的F来自债券。 股票的五因子回归截距和R'值接近于三个股票市场因素所产生的值。 但对于债券，添加TERM和DEF结果的残差标准误差要低得多。 提高的精确度将两个政府债券投资组合的五个因子的截距推到了0以外的两个标准误差以上。然而，这两个截距是相当小，每月0.09％和0.11％。

三种股票市场因素产生较低的F值我们认为五因子回归模型为债券和股票的收益率和平均回报提供了最佳模型。 TERM和DEF主导债券回报的变化。 而且，商业条件下TERM和DEF预期值的变化是F检验所忽略的股票和债券预期收益随时间变化的一个有趣部分，而F检验只考虑长期平均收益率。

6.诊断

在本节中，我们检查了我们推断的稳健性，即五个常见风险因素解释了预期股票和债券回报的横截面。我们首先使用五因素时间序列回归中的残差来检验回归在预期回报的横截面中随时间变化的变化。然后我们检查我们的实时风险因素是否捕捉到1月份的股票和债券回报季节。接下来是在解释性回报中使用一组股票的分拆样本回归分析。不相交，在依赖回报中设置。这些测试解决了以下担忧：上述回归中的规模和账面市场因素的证据是虚假的，这只是因为我们使用规模和账面市场投资组合来获得依赖性和解释性回报。最后一个也是最有趣的测试考察了在规模BE / ME投资组合中获得平均收益的股票市场因素是否也适用于其他变量形成的投资组合，这些变量是已知的有关平均收益的信息。尤其是收益，价格和股息/价格比率。

6.1回归残差的可预测性

（a）股息收益率（D / P），（b）高级债券收益率的低级差价（违约利差，DFS），（c）长期利差 期限短期债券收益率（期限利差TS）和（d）短期利率。 [参见Fama（1991）及其中的参考文献]。如果我们的五个风险因素包含预期收益的横截面。 股票和债券回报的可预测性应体现在五因子回归中的解释性回报（逐月风险溢价）中。 回归残差应该是不可预测的。 为了测试这个假设。 我们估计了32个时间序列回归，

（2）中的e_p（t + I）是表7中五因子回归的25个股票和7个债券组合的残差时间序列。股息收益D（t）/ P（t）是股息 在第t个月的纽约证券交易所股票价值加权投资组合中除以第t个投资组合的价值。 默认息差DFS（t）是公司债券市场组合收益率与长期政府债券收益率（来自Ibbotson Associates）之间在t月末的差异。 TS（t）是c月末的长期政府债券收益与一个月期票据利率RF（t）之差。

（2）的估计没有证据证明五因子时间序列回归的残差是可预测的。 在31个回归中，15个产生R方向的负值（根据自由度进行调整）。 32个R方值中只有4个超过0.01; 最大的是0.03。 残差回归中有128（32 x 4）个斜率。 十个比0多两个标准差; 它们均分正负值。 他

事实上，已知预测股票和债券收益率的变量不能预测我们的实时因素回归的残差，这支持了我们的推断，即五个风险因素可以反映预期股票和债券收益的横截面。 残差检验也是一个关键回归规范的有趣信息。 由于我们估计了整个1963 - 1991年期间回归的回归斜率，我们隐含地假设，对风险因素的依赖回报的敏感性是恒定的。 如果真正的斜率随时间变化，则回归残差可能是虚假的。 可预测性的缺乏表明，假设恒定斜率是合理的，至少对于这里使用的投资组合是合理的。

6.2 January seasonals

自work Roll（1983）和KEIM（1983），记录股票收益，尤其是小股票收益率，在一月往往会更高，在资产定价模型的检验中，它是寻找未解释的一月效应的标准。我们对判断模型解释一月季节性的能力持怀疑态度。如果季节性在总体上或部分上有样本误差，测试就会因包含取向偏差而被拒绝〔LO和McKyLay.（1990）〕。尽管如此，我们还是从我们的五个因素回归中对残差中的一月效应进行了测试。我们发现，除了最小的股票。一月效应非常弱。股票和债券收益率的一月季节性因素在很大程度上被我们的风险因子中的季节性因素所吸收。表10是一个虚拟变量的回归，一月是1，否则是0。回归截取非一月月份的平均回报，而虚拟度量的斜率表示平均一月回报和其他月份的平均回报之间的差异。

（表10略）

JAN（t）是一个虚拟变量，一月是1，否则是0。RMO是从（那一长串）的回归中截距和残差的总和。RM是价值加权的月度股票市场收益。RF是一个月的国库券利率，在月初开始观察到。SMB和HML是模拟股票组合收益的大小和股票市场的股票回报率。TERM是LTG-RF，其中LTG是长期政府债券收益。DEF是CB-LTG，其中CB是代理公司债券市场的代理权的回报。

这七个债券组合是1至5年和6年至10年政府债券，评级为AAA、Aa、A，Baa和低于Baa。从1963年至1991年的六月，25种规模的Be/ME投资组合被五分形成为独立种类的股票的交叉口，成为规模和账面市值股票。变量在表8中更详细地描述。

该表确认有一月效应在超额的股票收益里，强弱与股票市值有关。一月假设的斜率每个月都超过2.92%，超过最小市值五分之二的投资组合两个标准差的数值。控制BE/ME，额外的一月回报单调递减且下降速度增大。更有趣的是，股票收益的一月效应也与账面市值比有关。在每一个市值的五分位数中，一月假设的斜率倾向于增加BE/ME，最高五分之二BE/ME组合的市值的额外一月收益总是每月至少2.38%，2.85个标准差。

一月的季节效应不限于股票收益率。公司债券一月假设的斜率从AAA到LG投资组合单调递增。对于A,Baa和LG级别的债券，额外一月回报率分别为0.86%、1.14%和1.56%，而这些额外的平均回报率至少为1.94个标准差。

如果我们的五因素时间序列回归解释了一月效应的股票和债券收益，那么风险因素中必然有一月的季节性因素。表10显示，除了TERM之外，风险因素一月额外收益超过1%和至少I.67的标准差。季节性的大小和账面市值比两个因素十分强大。一月SMB和HML的平均回报率是每月的2.73%和2.29%，而额外的一月回报率是4.96，4.7个标准差。事实上，就像25个股票组合的超额收益率和五个公司债券组合是五因素回归中的因变量。风险因素中额外的一月回报通常比非一月的平均回报更显著，更可靠地区别于0。

最后，表10显示，在风险因素中一月效应在很大程度上吸收了股票和债券收益的季节性因素。在一月假设的五个因子残差的回归中，只有最小规模的五分之一的股票组合产生系统性的正向斜率：即使这些斜率在投资组合的原始超额收益率中只有四分之一到十分之一。如果有的话，余下规模的五分之一的五个因子残差显示一月的负效应，但这些组合一月假设的斜率很小，主要是在两个标准误差之内。简而言之，无论是虚假的还是真实的，一月股票和公司债券回报率的季节性因素在很大程度上是由我们的五因素模型中的风险因素对应的季节性因素来解释的。

6.3 split sample test

在股票的时间序列回归中，相关回报和两个解释回报SMB和HML是规模和账面市值权益形成的投资组合。许多读者担心SMB和HML的明显解释力是虚假的，由回归设置引起。我们认为这是不可能的。考虑到相关收益是基于更细的大小和BE/ME类别（25个投资组合）而不是SMB和HML回报。我们也似乎不太可能遇到两个模拟大小报酬和BE/ME因素的因素：（a）在实际不存在的情况下衡量25个投资组合收益的强的共同变化，以及（b）精确地解释SMB和HML的回归斜率中的意义。需要解释25个投资组合规模和账面市值权益的平均回报率。然而，一个独立的测试是有意义的。

我们把25个Be/Me投资组合中的股票分成两个相等的组。一组用于形成时间序列回归的25相关价值加权投资组合收益。另一种用于形成解释回报的半样本版本，RM－RF,SMB,和HML。然后，两组的角色颠倒过来。并且运行另一组回归。这样我们就有两组回归。在每个集合中，解释和相关回报来自不相交的股票组。

在不显示所有细节的情况下，我们可以在RM-RF，SMB,HML 不相交版本下报告25不同市值BE/ME投资组合超额收益的回归的两组结果与表6和表9中的全部样本结果相似。RM－RF、SMB和HML在分割样本回归中的斜率与表6中的斜率接近，截距与表9中的全样本三因子回归一样，接近0。简而言之，分裂样本回归证实了与市值和账面市值比与相回报的共同的风险因素相关。他们还证实，市场、市值和账面市值比因素似乎占据了股票平均收益的横截面。

如果有的话，分裂样本回归对于拒绝RM-RF，SMB和HML捕获占据平均股票收益的横截面的假设比全样本回归更缺乏说服力。由于25相关的投资组合回报在分裂样本回归中使用了一半的可用股票，因此投资组合不像表6那样多样化。虽然三因子分裂样本回归产生高值的R^ 2（大多大于0.88），但它们比表6（大多大于0.9）略低。因此。零截距假设的F检验在分裂样本回归中弱于全样本回归。

6.4 portfolios

对我们的推论市值和账面市值比风险因素的回报最有趣的检查，是检查这些变量是否能解释投资组合形成的其他变量信息已知的回报的平均回报。表11显示概要统计，以及一个因子（RM- RF）和三因子（RM- RF）。SMB和HML回归在收益/价格（E/P）和股利/价格（D/P）比率上形成的投资组合。

E/P投资组合的平均收益在Guffe、KeIM和Westfield（1989）和FAMA和French（1992年A）中都有U形。收入为负的公司的投资组合和前五分之一高E/P的公司的投资组合具有最高的平均回报率。对于积极的E/P投资组合，平均收益从最低到最高——前五分之一高E/P。这种模式对我们的风险因素是一个有趣的挑战。

月度价值加权超额收益表（部分略）

投资组合形成于t年六月，1963年至1991年。t年的股息收益率（D/P）是从七月的t-1到六月的t， [用FAMA和French（1988）中描述的程序进行测量]。除以六月t-1的市场权益，年t的收益价格比（E/P）是在日历年T-1结束的会计年度的股权收入除以在t-1的十二月的市场权益。权益收入是在正常收入加上损益表递延税项，减去优先股息。D/P或E/P的五分之一断点仅使用NYSE公司确定正股息或收益。回归t统计量是圆括号。参见表7对RM－RF ，SMB，和HML的定义

表11证实了巴苏（1983）中的证据：单因素Sharpe Lintner模型在很大程度上不能解释平均收益与E/P之间的关系。对于积极的E/P投资组合，在一个因子回归中的截距增加单调，从每月的-0.20%（t＝2.35），最低五分之一E/P至0.46%（t＝3.69）最高的。单因素模型的失败有一个简单的解释。积极的E/P投资组合的市场β均接近1，因此单因素模型不能解释E/P与平均收益之间的正相关关系。

相比之下，使用RM－RF、SMB，HML的三因素模型解释收益率，在平均收益中没有剩余E/P效应。五个积极E/P组合的三个因子截距在0-0.1以内（t从-0.12到1.01）。有趣的是，三因素回归表明，积极E/P投资组合的平均回报率的增长模式是由于它们对账面市值比因素HML的负荷。最低正五分之一E/P具有HML斜率，-0.50，类似于表6中三因子回归中最低的五分之一Be/ME的组合所产生的斜率。最高五分之一E/P的HML斜率为0.67，类似于表6中最高五分之一Be/Me的组合。表1证实了E/P和Be/Me在25个组合的市值和Be/Me之间也存在正相关关系。

FAMA和French（1991年B）发现低BE/ME是成长股的特征。即在账面权益上持续高收益的股票，导致相对于账面权益的高股价。高Be/Me在另一方面，账面权益的持续低收益导致股票价格下跌。HML的负荷在表II的三因素回归中表示低E/P股票具有典型的（低BE/ME）成长股票的低平均回报率，而高E/P股票具有与高的平均回报（高BE/ME）。

负E/P组合产生了反对三因素模型的唯一证据。尽管投资组合的平均超额收益率高（每月0.72%）。三因素模型表明其平均回报率为每月0.3%，太低了，考虑到SMB的强劲负荷（1.13，像表6中的最小尺寸组合）和HML（0.46，就像表6中的更高的Be/ME投资组合一样）。换言之，根据三因素模型，这个投资组合的平均回报率应该更高，因为它的回报就像那些盘子小，相对低迷的股票。然而，负E/P投资组合的三个因素截距只有1.68个标准误差。

简而言之，E/P组合在平均收益率中具有较强的扩散性，这似乎被股票收益的三个共同风险因素所吸收。因此，E/P投资组合对我们的推论是有意义的佐证：（a）股票收益中有共同的风险因素，与市值和账面市值有关。（b）RM－RF，SMB，和HML，模拟市场，市值和BE/ME风险因素的回归，占据股票平均收益的横截面。

6.5 portfolios

表11显示了这一点，如KeIM（1983）。在D/P上形成的投资组合的平均收益也是U形的，它们从零股息组合下降到最低正D/P组合。然后在积极的D/P投资组合中增加。U形图案。然而，平均回报率的总体分布在D/P投资组合比E/P组合要弱得多。

表11也证实了Keim（1983）发现单因素Sharpe Lintner模型在平均回报率上留下了一个模式，看起来像是对股息的税收惩罚。单因素截距从最低到最高的D/P投资组合单调递增。这表明，较高的D/P股票的税前收益必须更高，以均衡税后风险调整后的回报。

但是，在使用RM－RF、SMB和HML来解释收益的三因素回归中，明显的税收效应在平均收益中不存在。五个正D/P组合的三因子截距接近于0，与D/P没有关系。三因子回归表明，正D/P投资组合的平均收益率的增长模式是由于其在账面市值因素HML上的负荷增加的模式所致。最低（正）五分之一D/P具有很强的负HML斜率，-0.48，并且高D/P组合具有强的正斜率，0.54。再一次，三因素模型表明，低D/P股票具有典型的成长性股票的平均低回报率，而高D/P股票具有较高的平均收益。表1证实了D/P和Be/Me在25个组合的市值和Be/Me之间也存在正相关关系。

零股利组合对三因素模型产生了最强的反对证据。三因素模型表明，这个组合的高平均超额收益率（每月0.48%）是0.23%，太低（t＝-2.30）。考虑到它在SMB上的强负载（0.99），模拟了市值因子的回报。换句话说，因为零股利组合的回报率不同于小股票组合的回报率，三因素模型表明，这个投资组合的高回报率还不够高。但在实际应用中，零股息组合的三因素截距很小。此外，三因素模型产生五个正D/P组合的截距都接近0，在统计和实际上。我们得出这样的结论，总体而言，D/P投资组合与我们的推断一致，即三个股票市场因素，RM- RF，SMB，HML。获取股票平均收益的横截面。

7解释和应用

本文研究了股票和债券收益的共同风险因素，并检验了这些共同风险是否捕获了平均收益的横截面。在收益中至少有五个共同的因素。三个股票市场因素产生了股票收益的共同变化。除低级公司债券外，股票市场因素对政府债券和公司债券的收益影响不大。然而，股票和债券市场是联系在一起的。通过两个共享期限结构因素。

7.1应用

表2显示了三个股票市场因素，RMO，SMB。和HML。在很大程度上是彼此不相关的,同时伴随两个期限结构因素，TERM和DEF。表8中使用RMO SMB。HML、TERM和DEF的回归来解释股票和债券收益，从而提供了五个因素在收益波动性和平均回报的横截面中的不同作用的一个很好的总结。

这25种股票组合在正交化市场回报率上产生了斜率。RMO都是1左右。因此，RMO，其标准偏差为每月3.55%，在所有股票投资组合的回报中也有类似的共同变化。平均RMO收益率，0.50%个月（t＝2.61）也是股票平均超额收益的共同部分。由于RMO对股票的斜率都在1左右，我们可以将平均RMO收益解释为股票的溢价（而不是一个月的国债），并分享股票市场的一般风险。

对于股票而言，表8中两个期限结构收益率的斜率都在0.8左右。TERM和DEF的标准偏差为每月3.02%和1.60%（表2）。然后说TERM在所有股票投资组合的回报上都有类似的变化，按照RMO所捕获的顺序，而DEF捕捉更少的共同的收益变化。平均TERM和DEF回报仅为每月0.06%和0.02%。因此，它们几乎没有解释股票超额收益的平均值。但是预期的TERM和DEF回报随着商业状况而变化（FAMA和Frand（1989）和陈（1991））。因此，TERM和DEF在预期债券和股票收益中产生有趣的时间序列变化。

除了低级公司债券，在表8的五个因子回归中，TERM和DEF捕获几乎所有的债券回报的共同变化。因此，债券的低平均超额收益率与低的平均TERM和DEF收益非常吻合。表3和8附近的R^2值表示，TERM和DEF解释了几乎所有的高评级债券回报变化（AAA，Aa，A）。由于公司债券（around I）的TERM和DEF斜率类似于股票的斜率（大约0.8），我们可以推断股票几乎分享了所有高评级公司债券收益的变化。然而，由于股票市场因素，股票有很大的额外的波动性。

在表8的五因子回归中，RMO，TERM和DEF上的斜率在25个股票组合中变化不大。因此，RMO、TERM和DEF在股票收益中的作用被表7中的超额市场回报RM-RF所捕获。然而，表7中RM－RF的斜率与表8中RMO上的斜率相同。因此，与RMO、TERM和DEF一样，超额市场回报不能解释平均股票收益率及其波动性的强横截面差异（表2）。这项工作留给SMB和HML，与市值和账面市值相关的风险因素的模拟回报。

表8中的SMB的斜率超过最小五分之一市值的投资组合1.5，对于最大五分之一的投资组合而言，它们下降到0.3左右。SMB的标准偏差较大，每月2.89%。因此，市值相关的共同回报因素之所以重要，是因为可以解释为什么小股票收益比大股票收益变化更大（表2）。平均SMB回报率仅为每月0.27%（t＝1.73）。然而，表8中的SMB斜率从1.92到0.20不等，因此，由于市值相关的风险因素，25个股票组合中的平均收益的预测价差很大，每月0.46%。

表8中的HML的斜率从账面市值最低的五分之一的投资组合的-1到最高的五分之一Be/Me的0。因此HML往往会增加低BE／ME股票收益的波动性。表2证实了这一点。在市值的五分位数，最低的BE/ME投资组合的回报比最高的BE/ME收益更易波动。特别是对于五分之三最小市值来说，其中五个因子回归产生R′值接近1。平均HML回报率，每月0.40%（t＝2.91，表2），然后说投资组合在最低五分之一的BE/ME，HML斜率接近1，其平均回报率相对于最高五分之一Be/Me的投资组合每月减少约0.40%，其中HML斜率接近0。

FAMA和French（1992年B）发现账面市值比与相对盈利能力有关。平均而言，低BE/Me的公司持续收入较高，高BE/ME公司的收益持续不佳。这里的证据表明，HML，高和低BE/ME股票之间的回报之间的差异，通过时间捕捉与相对盈利业绩相关的风险因素的变化。HML降低了低BE/ME股票的平均回报率，因为它们在HML上的负斜率表明它们对冲了与相对盈利能力相关的收益的共同因素。

然而，在时间序列回归中，关于斜率和平均溢价的详细介绍是有序的。五个具有解释性的回报的许多转换产生相同的截距和R’值。因此，他们产生相同的推论关于总的回报的共同变化和五个因素获取平均回报的横截面的能力。但是，不同的转换改变了要素的斜率和平均溢价。例如，RMO的平均值，正交化的市场回报，是每月0.50%（r＝2.61），RM-RF的0.43%（t＝1.76）。在五因子回归中使用RMO而不是RM- RF也改变SMB、HML、TERM和DEF上的斜率（比较表7和8）。但RMO和RM- RF产生相同的截距和R’值用于测试五因素资产定价模型。

至少，我们的结果表明，五个因素很好地解释了（a）债券和股票收益的共同变化和（b）平均回报的横截面。我们认为，我们简单地定义了股票市场和债券市场因素的模拟收益。但因素的选择，特别是市值和账面市值因素，是根据经验。如果没有一个理论指定状态变量或回报中的公共因素的确切形式，那么任何特定版本的因素的选择都是任意的。因此，具体的细节，包括斜率和与特定版本的因素结合的平均溢价都只是建议，而不是确定性的定义。

7.2应用

原则上，我们的结果可以应用于任何需要估计股票收益的应用。该列表包括（a）选择投资组合，（b）评估投资组合表现，（c）测量事件研究中的异常回报，以及（d）估计资本成本。应用取决于证据，这五个因素提供了一个很好的描述横截面的平均回报。但他们并不要求我们已经确定了真正的因素。

如果这五个因素捕获了平均收益的横截面，则它们可以用来指导投资组合选择。对五个风险因素的候选投资组合的风险可以通过投资组合过去的超额收益在五个解释性收益的回归来估计。回归斜率和历史平均溢价的因素，可以用来估计（无条件）预期收益的投资组合。类似的程序可以用来估计公司证券的预期收益，以判断其资本成本。（我们预测。然而，在个别证券的五因子参数估计中，抽样误差将是一个严重的问题。）

如果我们的结果是以面值计算的。评估托管资产组合的性能是很简单的。在我们的五个解释性回报中，被管理投资组合超额收益的时间序列回归的截距是判断管理者是否能够击败市场所需的平均异常回报率，也就是说，他是否可以使用特殊信息来产生平均回报，大于被动组合的五个风险因素的模拟回报。

对于只持有股票的投资组合，使用我们的投资组合形成和进行业绩评价更简单。表5到8表示只使用三个股票市场因素的模型，RM RF、SMB和HML，和五因素模型在解释股票收益的共同时间序列变化和平均股票收益的横截面方面做的一样好。

许多人继续使用单因素Sharpe Lintner模型来评估投资组合的表现和估计资本成本。尽管缺乏证据表明这是相关的，至少，这里的结果和法玛和French人（1992年A）应该有助于打破这个共同的习惯。

最后，在股票价格响应公司特定的信息的事件研究中，股票收益在市场回报率的单因素回归中的残差通常用来从收益的一般变化中抽象出来。我们的结果表明，三个因子回归的残差，也使用SMB和HML将更好地隔离企业特定的回报成分。

使用三因素替代是特别重要的，如果测试强加横截面约束的平均股票回报。例如，AgWaWar、贾菲和Mordelk（1991）利用Sharpe Lintner模型的残差来判断收购公司的并购后股票收益。意识到并购后的回报似乎太低了，因为收购公司往往规模很大。当测量异常收益时，他们控制规模和超额市场回报。然而，他们发现，并购后五年内，收购公司的平均异常报酬率为负，且规模相似。

我们推测，收购公司的持续负异常收益是一个账面市值比的影响。我们认为，收购公司往往是成功的公司，具有较高的股票价格相对于账面价值和低负荷的HML。在我们的三因素模型中，HML上的低负荷将降低收购公司的平均股票回报率。在市场和规模因素调整的测试中产生持续的负异常回报。

7.3没有定论的问题

合在一起。这里的结果和FAMA和French（1992年B）的结果表明，在市值和账面市值的平均股票收益率背后有一个经济的故事。这里的测试表明，与市值和账面市值权益相关的共同回报因素，有助于以与多因素资产定价模型一致的方式捕获平均股票收益的横截面。FAMA和French（1991年B）表明，市值和BE/ME与相对盈利能力和增长的系统模式有关，这可能是回报的共同风险因素的来源。

但是我们的工作还有很多问题。最引人注目的是，我们没有显示市值和账面市值因素是如何由盈利的随机行为驱动的。盈利能力如何？或者其他任何基本因素，产生与市场回报率没有联系的市值和账面市值的共同变化？具体的基础可以被认定为状态变量，导致与市场无关的回报的共同变化，并承担不同于一般市场风险的溢价吗？这些和其他有趣的问题留给未来的工作。