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45°角问题例析④

【题目呈现】

如图, 在△ABC中, ∠ABC=90°, BC= 2AB, D为BC上一点, 连接AD 并取AD的中点E, 连接EC并将线段EC绕点E顺时针旋转90°得到线段 EF, 点G为BC的中点, 连接FG, 则∠FGB的度数为 ___.

【思路探究1】 几何动点来求值,特殊位置先审视。 端点中点特殊点,极限思想考虑之。 填空选择无过程,另辟蹊径真省时!

测量法不用细说,下面说说特殊位置法(包括极限位置法).

极限位置法:当点D、B重合时,构造一线两等角(∠ECF=DHE=45°), ∵有相似三角形(△ECH∽△CFG), ∴必有一线三等角(∠FGB=ECF=DHE =45° ).

极限位置法:当点D、C重合时,构造一线两等角(∠ECF=AGB=45°), ∵有相似三角形(△ACG∽△CFG), ∴必有一线三等角(∠FGB=ACF=AGB=45°).

极限位置法:当点D、C重合时,构造等直脚蹬脚模型(△BAG∽△FAC, 相似比为1:√2), 进而可得等腰直角三角形(△FGB), 故∠FGB=45°.

特殊位置法: 当点D、G重合时,构造手拉手全等模型(△BEG≌△FEC),可得等腰直角三角形(△FGB), 故∠FGB=45°.

特殊位置法: 当点D、G重合时,构造一线两等角(∠ECF=AGB=45°), ∵有相似三角形(△ECG∽△CFG), ∴必有一线三等角(∠FGB=ECF=AGB=45°).

【思路探究2】 从特殊可窥一般,拾级而上要大胆。 转化思想百般好,解题通法规律现。

将一般化的问题转化为特殊的问题: 方法不变!当点D为BC上的一般点时, 转化可求得∠FGB=45°.

数学是研究数量关系和空间形式的科学。

TheEnd,Byebye!

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