什么是黄金比例？（黄金比例多种证明）

几个世纪以来，黄金比例一直被誉为艺术和建筑中最美丽的比例。从帕台农神庙到萨尔瓦多·达利 (Salvador Dali) 的《最后的晚餐圣礼》，黄金比例已被发现潜伏在世界上一些最著名的作品中。

用希腊字母 phi (φ) 表示，黄金比例是非理性值：



欧几里得和黄金比例

在The Elements的第6卷中，Euclid 给了我们黄金比例的定义。

他指示我们取一条线段并将其分成两个较小的线段，使得整个线段( a+b) 与线段 a的比率与线段 a 与线段 b的比率相同，如下所示：



或者



黄金矩形

黄金比例最常表示为黄金矩形，一个边长比为 1.618:1 的矩形。

黄金矩形还有一个特性，如果你切掉一个正方形，你又会得到另一个黄金矩形。



解决黄金比例

要找到值 1.618034... 的来源，我们必须求解比例。为简单起见，假设b=1和a=x以便您可以求解x。



步骤1

取交叉



第2步

减去 x+1 将方程设置为零。



我们现在有一个标准的二次方程，其中a=1、b=-1和c=-1。

第 3 步

将这些值代入二次公式并求解。



得正解



为了更好地衡量，插入a=1.618和b=1以确认比例成立。



现在我们可以用它本身来写黄金比例！



或者等效地，



用φ=1 + 1/φ 代替分母中的φ。



让我们再来一次！



黄金比例可以写成一个无限连分数。

寻找斐波那契

我们可以使用连分数来近似黄金比例并发现与斐波那契数列的有趣关系。

步骤1

首先，我们将稍微改变我们的连分数。

我们将添加下标，而不是编写嵌套在自身中的公式，以指示可以从前一个值 (φ_n) 生成下一个值 (φ_n+1)。



由于这是一个无限连分数，随着n 的增加，近似值更接近于 φ 的真实值。

第2步

定义 φ_0 = 1 。求φ_1 插入n=0。



第 3 步

重复该过程以找到 n=1 的 φ_2，因为 φ_2 = φ_1+1。将步骤 2 的结果用于 φ_1。



步骤4

继续重复这个过程。





第 5 步

看看这个。有斐波那契数列！每个近似值是两个相邻斐波那契数的比值。我们不再需要将值插入连分数的麻烦，我们可以简单地划分斐波那契数列的连续项。我们不再需要将值插入连分数的麻烦，我们可以简单地划分斐波那契数列的连续项。



随着每次计算的进行，我们发现我们对黄金比例的近似值越来越接近其真实值。

事实上，F(n+1)/F(n) 的极限为 n → ∞（其中 F(n) 和 F(n+1) 表示斐波那契数列中的第 n 和第 n 加 1 项）收敛到φ。

在视觉上，我们可以看到斐波那契数列如何生成越来越接近梦寐以求的黄金矩形的矩形。



虽然设计界可能在争论黄金比例是否是民间传说，但我可以肯定地说，黄金比例在数学上非常的有趣。

同学你学“废”了吗？