'角平分线'模型
模型1.角平分线上的点向两边作垂线
如下图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B。
结论:PB=PA。
分析:利用全等知识可证明此模型,做题时可以利用这个模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。
例子:如下图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC。
求证:∠BAD+∠BCD=180°。
证明:
作DE⊥BC与E,作DF⊥BA延长线与F,
∴∠F=∠E=90°,因为BD平分∠ABC,
∴DF=DE(利用模型1), 又∵AD=DC,
∴△DFA≌DEC(斜边直角边)
∴∠BCD=∠DAF,∵∠BAD+DAF=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°。
模型2.截取构造对称全等
如下图,P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON
上截取OB=OA,连接PB,
结论:△OPB≌△OPA。
分析:利用全等知识可证明此模型,这是经常使用的一种解题技巧。
思考:已知,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线,AB=16,BD=8。求线段AC的长?
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模型3. 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图,P是∠MO的平分线上一点,AP⊥OP于P点,延长AP于点B。
结论:△AOB是等腰三角形
分析:这个模型巧妙地把角平分线和等腰三角形、三线合一联系了起来。
思考:如图,在△ABC中,BE是角平分线,AD⊥BE,垂足为D。
求证:∠2=∠1+∠C。
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模型4.角平分线+平行线
如图,P是∠MO的平分线上一点,过点P作PQ∥ON,交OM于点Q。
结论:△POQ是等腰三角形。
分析:这种构造技巧也经常使用,构造后出现等腰三角形,为证明结论创造了多的条件。
思考:如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E,过点E作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N。若BM+CN=9,则线段MN的长为?
注:若思考题有疑问可以私信小修要答案!
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