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【典型例题】三角形的外接圆

知识点：

(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.

(2)经过一个已知点能作无数个圆.

(3)经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.

(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆.

(5)外接圆，外心的概念：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

例题1．如图，在△ABC中，BC=24 cm，外心O到BC的距离为6 cm，求△ABC外接圆的半径．

解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB，
则OD=6 cm，BD=

BC=12（cm）． ∴OB=

=6

（cm）． ∴△ABC外接圆的半径为6

cm． 例题2． 如图，在△ABC中，BC=12 cm，AB=AC，∠BAC=120°． （1）作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； （2）求△ABC的外接圆的直径．

解：（1）如图，分别作出AB，BC的垂直平分线． 根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”， 得OA=OB=OC， ∴两条直线的交点O即为圆心． 以点O为圆心，OA的长为半径所作的⊙O即为△ABC的外接圆． （2）连接OC． ∵BC=12 cm，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠CAO=60°，OC=OA，BM=MC=6 cm， ∴△OAC是等边三角形， ∴OA=OC=AC，∴∠MOC=60°， ∴OC=4

cm． ∴△ABC的外接圆的直径是8

cm．

例题3． 如图，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．

解：（1）略． （2）∵∠BAC=90°，AB=8米，AC=6米， ∴BC=10米． ∵直角三角形的外心在斜边的中点处， ∴△ABC外接圆的半径为5米， ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 例题4． 如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=

，求⊙O的直径．

解：如图，连接BE． ∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD． ∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E． ∵tan∠ABD=

，∴tanE=tan∠FBA=

． 在Rt△ABF中，∠BAF=90°． ∵tan∠FBA=

=

，AF=3，∴AB=4． ∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径． ∵tanE=

，∴设AB=3x，AE=4x， ∴BE=5x． ∵AB=4，∴3x=4，解得x=

，∴BE=5x=

． 即⊙O的直径是

．

例题5 ．【操作与探究】 我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件． （1）分别测量如图①②③中各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？ （2）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图④⑤中的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系） （3）由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件． 解：（1）对角互补（对角之和等于180°）． （2）没有．在图④中，∠B+∠D<180°，< span=''> 在图⑤中，∠B+∠D>180°． （3）过四边形的四个顶点能作一个圆的条件对角互补（对角之和等于180°）．

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