一道梯形几何证明的解法探究(1)
。
如图，本题是八年级上册练习册习题19.2(6)第3题的一个问题背景，通过选取任意三个为题设，剩余一个为结论，选择不同的方法进行相应的几何证明。
1、已知：AD//BC，E是CD中点，AE平分∠DAB，求证：BE平分∠ABC，BE⊥AE.
添线依据：利用“倍长中线法”添加辅助线，延长AE、BC交于点F。
证明方法：根据AD//BC，E为CD中点，证明一组X型全等三角形，再利用等腰三角形的三线合一定理证明BE平分∠ABC，BE⊥AF。
当延长BE、AD交于点F时，同样可以利用上述的方法进行辅助线的添加。添线依据：利用“角平分线的性质定理”添加辅助线，过点E分别向AB、AD、BC三边作垂线。
证明方法：根据AD//BC，E为CD中点，证明一组X型全等三角形，再利用角平分线性质的逆定理证明BE平分∠ABC，利用两组全等三角形对应角相等证明BE⊥AF。
2、已知：AD//BC，BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，求证：E为CD中点，AB=AD+BC.
添线依据：利用“翻折”和“旋转”添加辅助线，对应截取和倍长。
证明方法：本题中既出现了角平分线，又有∠D和∠C互补的关系，因此本题既可以利用翻折▲ADE或▲BCE，又可以通过旋转▲AED和▲BCE，达到构造全等，转化线段的目的。
通过两次的全等，线段的转化可以得到E为CD中点。3、已知：AD//BC，AE⊥BE，E为CD中点，求证：AE平分∠DAB，BE平分∠ABC.
添线依据：利用“倍长中线”法，延长AE、BC交于点F。
证明方法：根据AD//BC，E为CD中点，证明一组X型全等三角形，再利用垂直平分线的性质定理AB=BC，利用等腰三角形的三线合一定理证明BE平分∠ABC。
延长BE、AD相交于P，证明方法同上。4、已知：BE平分∠ABC，AE⊥BE，E为CD中点，求证：AD//BC，AE平分∠BAD.
添线依据：利用“倍长中线”法，延长AE、BC交于点F。
证明方法：根据BE平分∠ABC，AE⊥BE，证明三角形全等，再利用AE=EF，DE=CE，证明一组X型全等三角形，从而证明AE平分∠BAF，AD//BC。
5、已知：AD//BC，BE平分∠ABC，AE⊥BE，求证：E为CD中点，AE平分∠BAD. 通过上述讨论可知，任意选取三个条件，就可以推的第四个条件，掌握这类题型，可以充分掌握等腰三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一性质、全等三角形的性质和判定以及角平分线的性质定理。可以发现利用延长的方法证明是通法，截取或者做垂线则存在一定的局限性。 相关链接：
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