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初中几何趣题:求套娃三角形的面积

如图:三角形ABC三边外接三个正方形EMBA、ACHN、BFGC(图中绿色显示),三个正方形再外接三个正方形LOFE、IMND、GJKH(图中紫色显示)。已知正方形LOFE的面积为2809,正方形GJKH面积为2704,正方形IMND面积为2601。求三角形ABC的面积

初中几何趣题:求套娃三角形的面积

图中的三角形ABC具有任意性,是一题有趣的套娃题目,三角形外面套了两层正方形,已知最外围正方形的面积,求最里面的三角形面积。

如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。


解法一(代数法):

为了方便表达,我们在图上标了三角形ABC的三个角和三条边。

把关注点先放到三角形MAN,我们注意到角MAN=180度-角a,运用余弦定理可得:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积,化简得:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积 。。。。(式1)

在三角形ABC中,运用余弦定理可得:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积 。。。。(式2)

由(式1)+(式2)得:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积 。。。。(式3)
同理,可以得到:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积 。。。。(式4)

初中几何趣题:求套娃三角形的面积 。。。。(式5)

由(式3)+(式4)+(式5)得到:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积 。。。。(式6)

进而得到:初中几何趣题:求套娃三角形的面积

由于我们需要用正弦定理计算面积,因此从式2计算余弦的值:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积

可得正弦值:初中几何趣题:求套娃三角形的面积

初中几何趣题:求套娃三角形的面积

代数法的思路比较直接,但是就是计算量有点大。俗话说没有什么题目是一次硬算解决不了的,否则就两次硬算。


解法二(面积法):

我们放大一下三角形ABC的局部图,由紫色正方形面积,容易得到边长分别是51、52、53。

设图中3个白色三角形的面积分别为:S1、S2、S3。

初中几何趣题:求套娃三角形的面积

我们有初中几何趣题:求套娃三角形的面积

同理,我们可以计算出S1=S2=S3,均与三角形ABC面积相等。

而S1、S2、S3合并为一个大的三角形,刚好三边长分别为51、52、53。

初中几何趣题:求套娃三角形的面积

根据三角形面积海伦公式,可以得到新三角形的面积,进而得到三角形ABC的面积。

此处省略具体计算过程,有兴趣的读者可以自行补充。


解法三(几何法):

如果觉得以上方法都比较繁琐,或者没有学过三角函数,我们可以来一个纯几何的方法。

按以下方式做辅助线:

初中几何趣题:求套娃三角形的面积

其中MZ//NZ,BW//CW,可见三角形MAN的面积,是四边形MANZ面积的一半。三角形ABC的面积是四边形BWCA面积的一半。

做两个四边形的高BA1和AV,通过角的计算,发现:

角ZMA+角MAN=180=角MAN+角BAC,所以,角ZMA=角BAC

因此三角形BAA1与三角形AMV全等,BA1=AV

四边形MANZ与四边形BWCA面积相等,进而三角形ABC的面积与三角形MAN相等。

剩下就跟方法二一样,通过海伦公式就可以计算了。

有兴趣的读者,可以自行完成


你学会了吗?如果你有其他解法,也可以在评论区留言哦。

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