如图:三角形ABC三边外接三个正方形EMBA、ACHN、BFGC(图中绿色显示),三个正方形再外接三个正方形LOFE、IMND、GJKH(图中紫色显示)。已知正方形LOFE的面积为2809,正方形GJKH面积为2704,正方形IMND面积为2601。求三角形ABC的面积
图中的三角形ABC具有任意性,是一题有趣的套娃题目,三角形外面套了两层正方形,已知最外围正方形的面积,求最里面的三角形面积。
如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。
解法一(代数法):
为了方便表达,我们在图上标了三角形ABC的三个角和三条边。
把关注点先放到三角形MAN,我们注意到角MAN=180度-角a,运用余弦定理可得:
,化简得:
。。。。(式1)
在三角形ABC中,运用余弦定理可得:
。。。。(式2)
由(式1)+(式2)得:
。。。。(式3)
同理,可以得到:
。。。。(式4)
。。。。(式5)
由(式3)+(式4)+(式5)得到:
。。。。(式6)
进而得到:
由于我们需要用正弦定理计算面积,因此从式2计算余弦的值:
可得正弦值:
代数法的思路比较直接,但是就是计算量有点大。俗话说没有什么题目是一次硬算解决不了的,否则就两次硬算。
解法二(面积法):
我们放大一下三角形ABC的局部图,由紫色正方形面积,容易得到边长分别是51、52、53。
设图中3个白色三角形的面积分别为:S1、S2、S3。
我们有
同理,我们可以计算出S1=S2=S3,均与三角形ABC面积相等。
而S1、S2、S3合并为一个大的三角形,刚好三边长分别为51、52、53。
根据三角形面积海伦公式,可以得到新三角形的面积,进而得到三角形ABC的面积。
此处省略具体计算过程,有兴趣的读者可以自行补充。
解法三(几何法):
如果觉得以上方法都比较繁琐,或者没有学过三角函数,我们可以来一个纯几何的方法。
按以下方式做辅助线:
其中MZ//NZ,BW//CW,可见三角形MAN的面积,是四边形MANZ面积的一半。三角形ABC的面积是四边形BWCA面积的一半。
做两个四边形的高BA1和AV,通过角的计算,发现:
角ZMA+角MAN=180=角MAN+角BAC,所以,角ZMA=角BAC
因此三角形BAA1与三角形AMV全等,BA1=AV
四边形MANZ与四边形BWCA面积相等,进而三角形ABC的面积与三角形MAN相等。
剩下就跟方法二一样,通过海伦公式就可以计算了。
有兴趣的读者,可以自行完成
你学会了吗?如果你有其他解法,也可以在评论区留言哦。
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