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图形旋转变式汇总


部分选题来自上海市嘉定区南翔中学 王晟喆《从同题异构角度看教与学》

如何研究图形的旋转问题?

对于图形的旋转问题,首先 需要根据题意作出满足题意的图形 ,即根据图形旋转的定义和性质作图 (旋转三要素) ,灵活借助圆规、量角器和直尺这类作图工具能提升作图的效率;其次 通过提取题干中的条件信息标在图中,同时将旋转后的对应线段、对应角等也根据结论需要标在图中 需要注意的是旋转角相等,这个重要信息不可忽略;最后 结合图形,结合常见的基本图形和基本方法化为可解决的问题 问题背景

背景分析: 本题的背景是一个"345"的基本直角三角形,其中AB=15,AC=9,BC=12,旋转中心是点C,旋转方向是顺时针旋转,旋转角的大小不确定。因此是无法准确画出精准图形的。通过以下的变式达成对图形旋转问题解决策略的探索所。
变式1: 使旋转角的大小分别为α=45°,α=∠B,α=∠A; 变式2: 旋转至特殊位置;
变式3: 改变旋转中心,使旋转后三角形的边与原三角形的某条边呈现特殊位置关系。

01

改变旋转角的大小

1 当旋转角的度数为45°时

解法分析:当旋转角α=45°(或其他确定的特殊值),发现关键三角形——▲CDB',它是一个已知两角及大小及一边长度的一般三角形,联想解斜三角形有关知识,能够联想到可以过点D作CB'边上的高,继而求得DB'、CD的长,再求A'D的长,进而求得CD:A'D的值

2 当旋转角的度数为∠B时

解法分析:当旋转角α=∠B时,还是可以按照上题的方式进行如法炮制,通过解三角形的方式求得相应线段的比值。

方法点睛:当旋转角α=∠B时,可以得到▲CDB'为等腰三角形,此时可以得到D为斜边A'B'中点,因此可得A'D=CD,因此得到比值为1,通过图形的特殊性可以简化运算的过程

3 当旋转角的度数为∠B时

解法分析:当旋转角α=∠A时,画出图形后可得A'B'⊥CB,此时▲CDB'为直角三角形,不用作垂线即可通过解三角形的方式求得相应线段的长度,继而求出比值。


02

旋转至特殊位置

4 当点A'恰好落在边AB上时

解法分析:当点A'恰好落在边AB上时,此时旋转角的大小还是可求的。通过作图,得到▲ACA'为等腰三角形,借助等积法可以求得旋转角(∠ACA'的三角比),从而继续解▲CDB'即可。

方法点睛: 上述的方法固然可以求得线段的比值,但是计算的过程太过繁琐,观察到CD:A'D恰好是两相似三角形CDB'和▲A'DB的对应边,因此只要求出AA'本题就迎刃而解了。由于AA'C是等腰三角形,利用“三线合一”定理通过作底边上的高可以求出AA'的长度,继而求出A'B的长度。

变式: 同时联结BB'后得到了两个共顶点旋转的相似三角形,借助三角形的相似(▲ACA'和▲BCB'),同样可以求出BB'的长度

5 当点B、A'、B'三点共线时

解法分析:当点B、A'、B'三点共线时,根据题意可得▲BCB'为等腰三角形,因此通过过点C作BB'的垂线,即可求出BB'长度,继而求出A'B的长度。

在▲BCA'中,由于已知两边及一角,也可以通过作垂线的方式求出∠A'CB的正切值。


03

改变旋转中心

6 当绕点A逆时针旋转时

解法分析: 根据题意画出图形进行分析:

本题和变式6有些类似,画出图形后,得到 两个共顶点旋转的相似三角形,即▲ACA'和▲BB'A', 要求∠BB'M的正切值,实际上需要解斜▲BB'M,这个三角形已知了BM,∠ABB'的三角比,因此只要求出BB'的长度即可。除了两个共顶点旋转的相似三角形外,由于斜边中点的特殊性,可得▲ACA'和▲ACM相似,即▲ACM和▲BB'A'是相似的,即可求出BB',进而求解。

方法点睛: 上述的方法固然可以求得线段的比值,但是计算的过程太过繁琐,观察到CD:A'D恰好是两相似三角形▲CDB'和▲A'DB的对应边,因此只要求出AA'本题就迎刃而解了。由于▲AA'C是等腰三角形,利用“三线合一”定理通过作底边上的高可以求出AA'的长度,继而求出A'B的长度。

变式: 同时联结BB'后得到了两个共顶点旋转的相似三角形,借助三角形的相似(▲ACA'和▲BCB'),同样可以求出BB'的长度

7 当绕BC边上的定点旋转时

解法分析:先根据题意确定点P的位置,再根据B'C'//AB,画出旋转后的图形,要求A'G的长度,实际上需要求CG的长度,通过过点P作BA垂线即可构造直角三角形,从而求得PE的长度。

8 当绕斜边中点旋转时

解法分析: 由于 未指明旋转的方向,因此本题需要分类讨论 ,即顺时针或逆时针旋转,由BC⊥B'C'可以确定旋转后的图形:

通过旋转后的图形,由A'B'⊥AB,解▲BDM即可得到BD和DM的长度,继而求出CD和A’D的长度。本题的难点在于画图及分类讨论。


04

方法小结

旋转后的几种图形:

旋转问题解决的一般思路:

END


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