正方形的旋转变换
方法要点
解决与正方形旋转有关的题目,需要将旋转的性质与正方形的性质相结合,借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路.
典型例题
例题1.如图，在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,连接EE',则下列判断不正确的是( ) A.△AEE'是等腰直角三角形 B.AF垂直平分EE' C.∠FE'E=∠DAF D.△AE'F是等腰三角形 答案：.D [解析]∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴AE'=AE,∠E'AE=90°. ∴△AEE'是等腰直角三角形.故A正确. ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴∠E'AD=∠BAE. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°. ∴∠E'AD+∠DAF=45°.∴∠E'AF=∠EAF. 又∵AE'=AE,∴AF垂直平分EE'.故B正确.∵AF⊥E'E,∠ADF=90°,∴∠FE'E+∠AFD=∠AFD+∠DAF.∴∠FE'E=∠DAF.故C正确. 由已知条件不能推出△AE'F是等腰三角形.故D错误.故选D.
例题2.如图2,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为 ( ) A.3 B.2 C. D. 答案：C
[解析]如图,连接BM.由题意可得△ADM≌△AEM≌△ABF,∴∠BAF=∠EAM,AF=AM,AB=AE.∴∠BAF+∠BAE=∠EAM+∠BAE,即∠EAF=∠BAM.在△EAF和△BAM中,∵AF=AM,∠EAF=∠BAM,AE=AB,∴△EAF≌△BAM.∴EF=BM.在正方形ABCD中,AB=3,又∵DM=1,∴CM=3-1=2.在Rt△BCM中,BM===.∴EF=BM=.故选C.
例题3.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?
例题4.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A,点G,E分别在线段AD,AB上,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(旋转角小于90°),连接DG,BE,如图，在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等?并说明理由.
答案：[解析]观察DG的位置,找包含DG的三角形,只要找到与之全等的三角形,即可找到与DG相等的线段. 解:能,BE=DG. 理由如下: ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形, ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°. ∴∠BAD-∠BAG=∠EAG-∠BAG,即∠DAG=∠BAE. 在△BAE和△DAG中, ∵AB=AD,∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∴△BAE≌△DAG(SAS). ∴BE=DG.
例题5.如图①,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与点C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE. (1)猜想图①中线段BG和线段DE的数量关系及其所在直线的位置关系; (2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图②、如图③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并选取图②证明你的判断. 答案：.[解析](1)根据正方形的性质,显然△BCG绕点C顺时针旋转90°即可得到△DCE,从而判断两条线段之间的关系;
(2)结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论. 解:(1)BG=DE,BG⊥DE.理由如下: ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形, ∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°. 在△BCG和△DCE中, ∵BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE, ∴△BCG≌△DCE(SAS). ∴BG=DE. 延长BG交DE于点H,如图所示. ∵△BCG≌△DCE, ∴∠CBG=∠CDE. ∵∠CBG+∠BGC=90°,∠BGC=∠DGH, ∴∠CDE+∠DGH=90°. ∴∠DHG=90°. ∴BH⊥DE,即BG⊥DE. (2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立. 利用题图②证明如下: ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形, ∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°. ∴∠BCG=∠DCE. ∴△BCG≌△DCE. ∴BG=DE,∠CBG=∠CDE. ∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°, ∴∠CDE+∠DHO=90°. ∴∠DOH=90°. ∴BG⊥DE.
例题6.已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM. (1)如图①,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,直接写出结论,不用证明; (2)如图②,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论; (3)将图①中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长. 答案： 解:(1)结论:DM⊥EM,DM=EM.
证明:如图①,延长EM交AD于点H. ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, ∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD. ∴AD∥EF. ∴∠MAH=∠MFE. 又∵AM=FM,∠AMH=∠FME, ∴△AMH≌△FME. ∴MH=ME,AH=EF=EC.∴DH=DE. 又∵∠EDH=90°, ∴DM⊥EM,DM=EM. (2)仍成立. 证明:如图②,延长EM交DA的延长线于点H. ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, ∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD. ∴AD∥EF. ∴∠MAH=∠MFE. 又∵AM=FM,∠AMH=∠FME, ∴△AMH≌△FME. ∴MH=ME,AH=EF=EC. ∴DH=DE. 又∵∠EDH=90°, ∴DM⊥EM,DM=EM. (3)如图③,过点M作MR⊥DE于点R. 在Rt△CDE中,DE==12. 可证DM=EM,DM⊥EM. 又∵MR⊥DE,∴MR=DE=6,DR=RE=6. 在Rt△FMR中,MF===. 如图④,过点M作MR⊥DE于点R. 同理,在Rt△MRF中,MF==. 故满足条件的MF的长为或.
例题7.【问题解决】 一节数学课上,老师提出了一个这样的问题:如图①,P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接P'P,求出∠APB的度数; 思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接P'P,求出∠APB的度数. 请你参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】 如图②,若P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°, ∴P'P=2,∠BPP'=45°. 又P'A=PC=3,PA=1,∴P'P2+PA2=P'A2. ∴∠APP'=90°.∴∠APB=45°+90°=135°. 【类比探究】如图②,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接P'P. ∵P'B=PB=1,∠P'BP=90°, ∴P'P=,∠BPP'=45°. 又P'A=PC=,PA=3, ∴PA2+P'P2=9+2=11=P'A2. ∴∠APP'=90°.∴∠APB=90°-45°=45°.
例题1.如图，在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,连接EE',则下列判断不正确的是( ) A.△AEE'是等腰直角三角形 B.AF垂直平分EE' C.∠FE'E=∠DAF D.△AE'F是等腰三角形 答案：.D [解析]∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴AE'=AE,∠E'AE=90°. ∴△AEE'是等腰直角三角形.故A正确. ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴∠E'AD=∠BAE. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°. ∴∠E'AD+∠DAF=45°.∴∠E'AF=∠EAF. 又∵AE'=AE,∴AF垂直平分EE'.故B正确.∵AF⊥E'E,∠ADF=90°,∴∠FE'E+∠AFD=∠AFD+∠DAF.∴∠FE'E=∠DAF.故C正确. 由已知条件不能推出△AE'F是等腰三角形.故D错误.故选D.
例题2.如图2,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为 ( ) A.3 B.2 C. D. 答案：C
[解析]如图,连接BM.由题意可得△ADM≌△AEM≌△ABF,∴∠BAF=∠EAM,AF=AM,AB=AE.∴∠BAF+∠BAE=∠EAM+∠BAE,即∠EAF=∠BAM.在△EAF和△BAM中,∵AF=AM,∠EAF=∠BAM,AE=AB,∴△EAF≌△BAM.∴EF=BM.在正方形ABCD中,AB=3,又∵DM=1,∴CM=3-1=2.在Rt△BCM中,BM===.∴EF=BM=.故选C.
例题3.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?
答案：
例题4.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A,点G,E分别在线段AD,AB上,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(旋转角小于90°),连接DG,BE,如图，在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等?并说明理由.
答案：[解析]观察DG的位置,找包含DG的三角形,只要找到与之全等的三角形,即可找到与DG相等的线段. 解:能,BE=DG. 理由如下: ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形, ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°. ∴∠BAD-∠BAG=∠EAG-∠BAG,即∠DAG=∠BAE. 在△BAE和△DAG中, ∵AB=AD,∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∴△BAE≌△DAG(SAS). ∴BE=DG.
例题5.如图①,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与点C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE. (1)猜想图①中线段BG和线段DE的数量关系及其所在直线的位置关系; (2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图②、如图③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并选取图②证明你的判断. 答案：.[解析](1)根据正方形的性质,显然△BCG绕点C顺时针旋转90°即可得到△DCE,从而判断两条线段之间的关系;
(2)结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论. 解:(1)BG=DE,BG⊥DE.理由如下: ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形, ∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°. 在△BCG和△DCE中, ∵BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE, ∴△BCG≌△DCE(SAS). ∴BG=DE. 延长BG交DE于点H,如图所示. ∵△BCG≌△DCE, ∴∠CBG=∠CDE. ∵∠CBG+∠BGC=90°,∠BGC=∠DGH, ∴∠CDE+∠DGH=90°. ∴∠DHG=90°. ∴BH⊥DE,即BG⊥DE. (2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立. 利用题图②证明如下: ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形, ∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°. ∴∠BCG=∠DCE. ∴△BCG≌△DCE. ∴BG=DE,∠CBG=∠CDE. ∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°, ∴∠CDE+∠DHO=90°. ∴∠DOH=90°. ∴BG⊥DE.
例题6.已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM. (1)如图①,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,直接写出结论,不用证明; (2)如图②,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论; (3)将图①中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长. 答案： 解:(1)结论:DM⊥EM,DM=EM.
证明:如图①,延长EM交AD于点H. ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, ∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD. ∴AD∥EF. ∴∠MAH=∠MFE. 又∵AM=FM,∠AMH=∠FME, ∴△AMH≌△FME. ∴MH=ME,AH=EF=EC.∴DH=DE. 又∵∠EDH=90°, ∴DM⊥EM,DM=EM. (2)仍成立. 证明:如图②,延长EM交DA的延长线于点H. ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, ∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD. ∴AD∥EF. ∴∠MAH=∠MFE. 又∵AM=FM,∠AMH=∠FME, ∴△AMH≌△FME. ∴MH=ME,AH=EF=EC. ∴DH=DE. 又∵∠EDH=90°, ∴DM⊥EM,DM=EM. (3)如图③,过点M作MR⊥DE于点R. 在Rt△CDE中,DE==12. 可证DM=EM,DM⊥EM. 又∵MR⊥DE,∴MR=DE=6,DR=RE=6. 在Rt△FMR中,MF===. 如图④,过点M作MR⊥DE于点R. 同理,在Rt△MRF中,MF==. 故满足条件的MF的长为或.
例题7.【问题解决】 一节数学课上,老师提出了一个这样的问题:如图①,P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接P'P,求出∠APB的度数; 思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接P'P,求出∠APB的度数. 请你参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】 如图②,若P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
答案：
∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°, ∴P'P=2,∠BPP'=45°. 又P'A=PC=3,PA=1,∴P'P2+PA2=P'A2. ∴∠APP'=90°.∴∠APB=45°+90°=135°. 【类比探究】如图②,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接P'P. ∵P'B=PB=1,∠P'BP=90°, ∴P'P=,∠BPP'=45°. 又P'A=PC=,PA=3, ∴PA2+P'P2=9+2=11=P'A2. ∴∠APP'=90°.∴∠APB=90°-45°=45°.
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