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初中数学|经典几何问题：“三垂直全等”模型

三垂直模型

一般题目，不会直接考这种模型，但模型可能会是其中的一部分，它将成为解题的思路。



'三垂直全等'模型

模型.如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。

证明：

∵∠D=∠BCA=∠E=90°，

∵∠BCD+∠B=90°,

∵∠BCD+∠ACE=90°,

∴∠B=∠ACE,

∴∠BCD=∠A,

又∵BC=AC，

∴Rt△BCD≌Rt△CAE（ASA）。

利用AAS证明，过程会更简单。

其余两个证明类似。

注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。

例子1.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE。

求证：AB+CD=BC。

分析：

利用模型可知

Rt△ABE≌Rt△ECD。

∴AB=EC, BE=CD,

∴AB+CD=EC+BE=BC。

1








例子2.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。

求：DE的长？

分析:

利用模型可知

Rt△ADC≌Rt△CEB。

∴AD=CE=2.5cm,

BE=CD=0.8cm,

∴DE=CE-CD=1.7cm。

1








例子3.如图，正方形ABCD，BE=CF。

求证：（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF;

分析:

利用模型可知

Rt△ABE≌Rt△BCF,

∴AE=BF,

∴∠BAE=∠CBF,

∴∠CBF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90°,

∴AE⊥BF。

思考：如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，

过点A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P。

求证：BC=2AP。

提示：作EM⊥HP延长线与点M,

作GN⊥HP于点N，再使用垂直模型。

注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！

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