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由面积产生的函数关系问题

启示号
教育
3年前
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由面积产生的函数关系问题主要分为以下两类：①几何背景下的三角形或四边形中的线段与面积间函数关系的建立；②二次函数背景下点的坐标或线段长度与面积间函数关系的建立。

常见的三角形面积的求法如下图所示。一般首选直接法，用字母表示三角形的底或高，用面积公式直接计算；当无法直接求面积时，有以下三种方法：① 间接法，用面积差或面积和来求面积；② 当三角形同底或同高时，三角形的面积比等于高之比或底之比；③ 当出现相似三角形或A/X型基本图形时，相似三角形的面积比等于相似比的平方。

一、直接法求三角形面积

解法分析：本题中三角形的底边为BP，其长度为x，利用三角比可以表示出该三角形的高，因此可以直接求出三角形的面积。
二、间接法求三角形面积

解法分析：本题中三角形的面积无法直接求，因此本题有两种方法。

方法1：利用面积差计算

解法分析：过点A作BC垂线，利用锐角三角比或比例线段，从而用含x的代数式表示出△ADE，四边形DGFE和四边形BGFC的面积，利用面积差求出△BDG的面积。

方法2：利用相似三角形的性质以及等积法计算

解法分析：延长DG交BC于Q，利用相似三角形的面积比以及等高的三角形的面积比等于底之比来求解。

方法：利用相似三角形的性质以及等积法计算

解法分析：利用△BEF是中间量，因此可以借助相似三角形面积比等于相似比的平方以及等高三角形面积比等于底之比，来求出面积的比值。

方法：利用相似三角形的性质以及面积差综合求面积

解法分析：首先先发现图中的相似三角形：△BCE∽△ACD，由于△ACD的面积是可求的，因此可以用含x的代数式表示出△BCE的面积，继而利用面积差求出四边形的面积。定位相似三角形：共顶点旋转型相似三角形

用相似比计算面积：

常见的平面直角坐标系中三角形面积的求法如下图所示。对于不规则(任意一边不平行坐标轴或不在坐标轴上)的三角形往往采用割补的方法求解，但是由于二次函数中常常含有二次项，为了计算简便往往采用下图的两种方法计算面积，即“横着分割”或“竖着分割”。面积分别为1/2DE(B的横坐标-C的横坐标)及1/2CE(D的纵坐标-B的纵坐标)。

对于二次函数中的面积问题，也要根据点的位置进行分类讨论。当割补法无法求出三角形面积时，也可以借助相似三角形的性质或等积法求三角形的面积。