圆切割线的实战 - 初中数学联赛几何100题之007
题目：如图， PC 切⊙O 于C ， AC 为圆的直径， PEF 为⊙O 的割线， AE 、 AF 与直线 PO 相交于 B 、 D .
求证：四边形 ABCD 为平行四边形.
这道题主要是考察圆的切割线。
如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。
第一步，观察条件和结论，根据平行四边形的判定，可以考虑证明对角线互相平分或者两条边相互平行 ，因为已经有了一条对角线被交点平分，所以结论转化为证一组对边平行或者OB=OD即可。
解法一：尝试证明线段等长
OB=OD等价于BM=DN，直接推导无果。
考虑转化等长的条件，过E作EH//BD，交AF于H点，交AC于点G，条件转化为求证EG=GH
再取EF的中点Q，连接GQ,条件又转化为求证GQ//AF
之所以过渡到点Q，是因为在有切割线共存的图形中，割线形成的弦的中点是个特殊点，在长度和四点共圆方面常常有可供利用的地方，值得一试。
有了点Q之后，易知P,C,Q,O四点共圆，加上PN//EH
所以
, E,C,Q,G四点共圆从而
, GQ//AF得证。已知条件和结论会师。解法二：尝试用内错角相等证对边平行。
通过内错角相等和同弧所对圆周角相等，将结论转化为
从而AD/AC=EC/EF
同样的，考虑到EF中点G的特征，连接OG,CG
易得AD/AO=EC/EG, 同时
所以
, 结论转化为求证这两个三角形另外两对角中的一对相等。而因为G点的特征，P,C,G,O四点共圆，
已知条件和结论会师。
解法三：尝试用同位角相等证对边平行。
观察
，后者等于圆心角的一半所以结论转化为求证
这两个角没有直接关系，需要找个中间量过渡一下。
这时我们又看上了另一个特殊点：在有切割线共存的图形中，同一点引出的两条切线，与此点和圆心连线的交点是特殊点。
所以过C点作CG垂直PD于G
因为
所以G,E,F,O四点共圆
,同时易知B,E,C,G四点共圆，
结论转化为求证
，或者是再次利用G,E,F,O四点共圆的性质，得到
已知条件和结论会师。
总结：切割线共存的图形中，特殊点的作用不可限量，时刻准备尝试。
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