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反比例函数压轴题中常用结论

与反比例函数相关的问题,往往有两条路可供选择:

①代数法(设而不求)设出某(些)点的坐标,表示出所有相关点的坐标。

②几何法(K的几何意义),充分利用(或构造)双曲线的特征三角形(或特征矩形)的面积,借助转化与化归等数学思想方法。

在反比例压轴题中,如果掌握常见的一些图形对应的结论,那么解决问题的速度将大大提高。下面本人总结了一些常见的结论,希望给大家解题时能带来一些帮助。

结论总结

1、在P点运动过程中,由双曲线上的点P向坐标轴作的垂线得到的两个垂足A、B以及原点O构成的四边形面积不变,是个定值S=|K|

2、在P点运动过程中,由双曲线上的点P向坐标轴作的垂线得到的两个垂足A、B以及原点O构成的两个直角三角形面积不变,是个定值S=|K|/2

3、在P点运动过程中,两个彩色矩形面积相等

4、在P点运动过程中,两个彩色直角梯形面积相等

5、在P点运动过程中,彩色三角形和彩色直角梯形面积相等

6、三角形OAB的面积=直角梯形ACDB的面积

7、在P点运动过程中,若P为矩形边AC的中点,那么Q点必为边CB的中点,PQ//AB

8、在P点运动过程中,AP:PC=BQ:QC,PQ//AB

9、四边形MABQ和四边形APNB都是平行四边形且面积相等,MQ=AB=PN,MP=NQ,△MAP≌△QBN

当P、C、Q重合时,图形如下所示

10、AB//CD,△OAB∽△ODC,OA:OD=OB:OC=AB:DC=K1:K2算术平方根

11、 正比例函数图像、反比例函数图像都是中心对称图形,所以由它们组成的图像也是成中心对称。 所以OA=OB

12、如图,直线与双曲线两支交于A、B两点,与坐标轴交于C、D两点

结论:AC=BD

简证:由S△AGI=S△BHI得S△AGH=S△BHG 所以GH//AB 因为AH//CG,BG//DH 所以平行四边形ACGH、平行四边形BDHG 所以AC=GH=BD 所以AC=BD

12、如图,直线与双曲线其中一支交于A、B两点,与坐标轴交于C、D两点 结论:AC=BD

同理可证平行四边形ACGH、平行四边形BDHG

所以AC=BD

实战演练1

如图,过原点的直线与反比例函数y=k/x(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连结DE.若AC=3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________

简解:如下图演示

由△ADE的面积得到△ADO的面积为8,

再由AC=3DC得到△DOC的面积为4,

∴△AOC的面积为12,

再由图形结论可得FA=DC

∴AC=3AF

∴△AOF的面积为4,△AFH的面积为1,△AIC的面积为9

∴四边形AHOI的面积为6

∴K=6

实战演练2

(2019年长沙)如图,函数y=k/x(k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.现有以下四个结论:

①△ODM与△OCA的面积相等; ②若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°; ③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+√3; ④若MF=2/5MB, 则MD=2MA.其中正确的结论的序号是

本题只有第1小题可以直接运用模型结论判断其正确,其它请参考下面的解题过程。


总之:代数法易想难算

几何法易算难想

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